Transcription de la vidéo
Déterminez l’équation de la sphère qui passe par les points 𝐴 neuf, zéro, zéro; 𝐵 trois, 13, cinq; et 𝐶 11, zéro, 10, sachant que son centre appartient au plan 𝑦𝑧.
L’un des moyens les plus naturels d’exprimer l’équation d’une sphère est de le faire sous la forme dite standard. En général, nous écrivons la forme standard de l’équation d’une sphère comme 𝑥 moins 𝑥 zéro au carré plus 𝑦 moins 𝑦 zéro au carré plus 𝑧 moins 𝑧 zéro au carré est égal à 𝑟 au carré. 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro sont les coordonnées du centre de la sphère et 𝑟 est son rayon. La sphère elle-même est alors l’ensemble de tous les points de coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 qui satisfont cette équation.
Ce qui rend cette forme si naturelle et utile c’est que spécifier le centre d’une sphère et son rayon est suffisant pour déterminer complètement la sphère entière. Et étant donné l’équation d’une sphère donnée sous la forme standard, il suffit de la regarder pour déterminer les coordonnées du centre de la sphère et son rayon.
Cependant, dans notre cas, nous ne connaissons pas le rayon de la sphère et tout ce que nous savons sur le centre est qu’il se trouve dans le plan 𝑦𝑧. On nous donne, cependant, trois points qui se trouvent sur la sphère. Donc pour trouver l’équation de la sphère, nous allons prendre les coordonnées de chacun de ces points, les placer dans notre équation d’une sphère sous la forme standard, et l’utiliser pour arriver à un système d’équations que nous pouvons ensuite résoudre pour déterminer le centre de la sphère et son rayon, ce qui nous conduira alors à l’équation générale de la sphère. Nous connaissons déjà une des coordonnées du centre de la sphère. En effet, comme le centre de la sphère se trouve dans le plan 𝑦𝑧, l’abscisse 𝑥 est nulle.
Remplaçons maintenant par les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans notre équation sous forme standard. Pour 𝐴, 𝑥 est neuf, 𝑦 est zéro et 𝑧 est aussi zéro. Nous avons donc neuf moins zéro au carré parce que 𝑥 zéro est zéro plus zéro moins 𝑦 zéro au carré plus zéro moins 𝑧 zéro au carré est égal à 𝑟 au carré. Neuf moins zéro est simplement neuf, zéro moins 𝑦 zéro est moins 𝑦 zéro, et zéro moins 𝑧 zéro est moins 𝑧 zéro. Neuf au carré est égal à 81. Moins 𝑦 zéro au carré est moins 𝑦 zéro fois moins 𝑦 zéro, ce qui est égal à plus 𝑦 zéro au carré. Et de même, moins 𝑧 zéro au carré est égal à plus 𝑧 zéro au carré. Nous obtenons ainsi 81 plus 𝑦 zéro au carré plus 𝑧 zéro au carré est égal à 𝑟 au carré.
Nous allons maintenant faire le même calcul pour le point 𝐵. Nous avons que 𝑥 est trois, 𝑦 est 13 et 𝑧 est cinq. La seule simplification facile que nous pouvons faire est que trois moins zéro au carré est égal à neuf. Pour l’instant, nous allons laisser 13 moins 𝑦 zéro au carré et cinq moins 𝑧 zéro au carré comme ils sont. Ainsi notre deuxième équation est neuf plus 13 moins 𝑦 zéro au carré plus cinq moins 𝑧 zéro au carré est égal à 𝑟 au carré. Notre dernière équation viendra du point 𝐶 qui a pour coordonnées 𝑥 est égal à 11, 𝑦 est égal à zéro et 𝑧 est égal à 10. Maintenant nous avons 11 moins zéro au carré, soit 11 au carré ou 121 ; zéro moins 𝑦 zéro au carré, ce que nous savons être juste égal à 𝑦 zéro au carré ; et 10 moins 𝑧 zéro au carré, que nous ne développerons pas pour l’instant. Ainsi notre troisième équation est 121 plus 𝑦 zéro au carré plus 10 moins 𝑧 zéro au carré est égal à 𝑟 au carré.
Nous avons maintenant un système de trois équations à trois inconnues : 𝑦 zéro, 𝑧 zéro et 𝑟. Pour résoudre ce système, nous allons nous pencher sur une seule variable à la fois. Notez que les trois expressions dans le membre de gauche sont égales à la même expression figurant dans le membre de droite, à savoir 𝑟 au carré. Nous pouvons donc créer une équation sans 𝑟 en écrivant une égalité entre deux expressions quelconques prises du membre de gauche de ces équations. Notez également que dans les première et troisième équations, 𝑦 zéro apparait uniquement dans le seul terme 𝑦 zéro au carré. Ainsi, en égalisant les membres de gauche des première et troisième équations, nous devrions être en mesure d’éliminer non seulement 𝑟, mais aussi 𝑦 zéro, ce qui nous laissera avec une seule équation dont la seule inconnue est 𝑧 zéro.
Nous avons donc que 81 plus 𝑦 zéro au carré plus 𝑧 zéro au carré égale 121 plus 𝑦 zéro au carré plus 10 moins 𝑧 zéro au carré. Et nous savons que cette égalité est vraie car les deux expressions sont égales à la même chose, à savoir 𝑟 au carré. Maintenant nous devons simplifier. Nous allons commencer par soustraire 81 et 𝑦 zéro des deux membres. 81 moins 81 est zéro, tout comme 𝑦 zéro au carré moins 𝑦 zéro au carré. Donc il ne nous reste plus que 𝑧 zéro, au carré dans le membre de gauche. Dans le membre de droite, 121 moins 81 est 40 et 𝑦 zéro au carré moins 𝑦 zéro au carré est à nouveau égal à zéro. Ceci nous laisse donc avec 𝑧 zéro au carré est égal à 40 plus 10 moins 𝑧 zéro au carré.
Regardez maintenant ce que nous avons : exactement ce que nous voulions, une seule équation avec 𝑧 comme seule inconnue. Pour trouver 𝑧 zéro, nous devons développer 10 moins 𝑧 zéro au carré dans le membre de droite. Ceci nous donne que 𝑧 zéro au carré égale 40 plus 100 moins 20𝑧 zéro plus 𝑧 zéro au carré. Ceci a en fait fonctionné bien mieux que ce que nous pensions au départ. Le fait que nous ayons 𝑧 zéro au carré dans un membre indique que nous avons une équation du second degré. Mais nous avons le même 𝑧 zéro au carré dans l’autre membre de l’équation. Donc, en fait, cette équation est linéaire et facile à résoudre.
Pour résoudre cette équation, nous allons soustraire 𝑧 zéro au carré des deux membres et ajouter 20𝑧 zéro aux deux membres. Dans les deux membres de l’équation, 𝑧 zéro au carré moins 𝑧 zéro au carré est égal à zéro. Ceci nous laisse avec 20𝑧 zéro dans le membre de gauche. Et pour le membre de droite, 40 plus 100 est 140 et moins 20𝑧 zéro plus 20𝑧 zéro est égal à zéro. Nous avons donc que 20𝑧 zéro est égal à 140 et en divisant les deux membres par 20, on a que 𝑧 zéro est égal à sept. Maintenant que nous avons une valeur pour 𝑧 zéro, les deux seules variables restantes sont 𝑟 et 𝑦 zéro.
Pour trouver 𝑦 zéro, nous égaliserons les expressions du membre de gauche des première et deuxième équations car nous savons qu’égaliser les première et troisième équations élimine 𝑦 zéro du calcul. Mais nous avons besoin de 𝑦 zéro dans le calcul pour trouver sa valeur. Nous avons donc que 81 plus 𝑦 zéro au carré plus 𝑧 zéro au carré est égal à neuf plus 13 moins 𝑦 zéro au carré plus cinq moins 𝑧 zéro au carré, et encore une fois nous savons que cette égalité est vraie car les deux membres sont égaux à 𝑟 au carré.
Pour transformer cette équation en une seule équation à une seule variable, il suffit de remplacer 𝑧 zéro par sa valeur c’est à dire sept. Nous avons maintenant une seule équation à une seule variable et tout ce qui reste à faire est de déterminer 𝑦 zéro. Commençons par simplifier et développer tous les carrés que nous pouvons. Pour commencer, sept au carré est 49. Cinq moins sept est moins deux et moins deux au carré est plus quatre. Nous développons enfin 13 moins 𝑦 zéro au carré ce qui donne 169 moins 26𝑦 zéro plus 𝑦 zéro au carré. En regroupant tous les termes numériques du membre de gauche, nous avons 81 plus 49, soit 130. Le membre de gauche est donc 130 plus 𝑦 zéro au carré. Et dans le membre de droite, nous avons neuf plus 169 plus quatre, soit 182. Ainsi le membre de droite est 182 moins 26𝑦 zéro plus 𝑦 zéro au carré.
Nous voyons à nouveau que ce qui ressemblait à l’origine à une équation du second degré est en fait linéaire car nous avons le même terme au carré dans les deux membres. En soustrayant 𝑦 zéro au carré des deux membres nous obtenons que 130 est égal à 182 moins 26𝑦 zéro. Maintenant nous ajoutons 26𝑦 zéro et soustrayons 130 des deux membres, ce qui nous donne que 26𝑦 zéro est égal à 52. Il s’ensuit alors qu’en divisant les deux membres par 26 que 𝑦 zéro est égal à deux. La dernière quantité que nous devons déterminer est 𝑟 ou, plus précisément, 𝑟 au carré. Pour la trouver, nous remplacerons simplement dans notre première équation 𝑧 zéro par sept et 𝑦 zéro par deux. Donc 81 plus deux au carré plus sept au carré est égal à 𝑟 au carré. Autrement dit, 81 plus quatre plus 49 est 𝑟 au carré et ainsi 𝑟 au carré est égal à 134.
Nous avons maintenant les quatre quantités dont nous avons besoin pour exprimer l’équation de notre sphère sous la forme standard. L’équation de notre sphère sous la forme standard est 𝑥 moins zéro au carré plus 𝑦 moins deux au carré plus 𝑧 moins sept au carré est égal à 134. Exprimons cette équation sous une autre forme où tous les carrés seront développés et où le membre de droite de l’équation sera égal à zéro. 𝑥 moins zéro au carré est 𝑥 au carré. 𝑦 moins deux au carré est 𝑦 au carré moins quatre 𝑦 plus quatre. 𝑧 moins sept au carré est 𝑧 au carré moins 14𝑧 plus 49. Et nous avons posé le membre de droite comme égal à zéro en soustrayant 134 des deux membres.
Juste pour clarifier un peu plus cette expression, nous allons regrouper les trois termes du second degré, puis les deux termes linéaires. Et enfin, en regroupant les termes constants, quatre plus 49 moins 134 est moins 81, et toute cette expression est égale à zéro. 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré moins quatre 𝑦 moins 14𝑧 moins 81 est égal à zéro est l’équation de la sphère que nous recherchions. Et nous avons obtenu cette équation à partir de l’équation d’une sphère sous la forme standard que nous avons ensuite explicitée en déterminant les coordonnées du centre de la sphère et le carré de son rayon.
