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Vidéo de question : Calcul de la vitesse de lancement d’un projectile à partir du mouvement d’un autre projectile Physique

Deux projectiles sont lancés dans le même sens à partir du même point en même temps. Le projectile 𝑃₁ est lancé à un angle de 65 ° au-dessus de l’horizontale à une vitesse de 2,5 m/s. Le projectile 𝑃₂ est lancé à un angle de 15 ° au-dessus de l’horizontale. Les projectiles atterrissent au même point. À quelle vitesse le projectile 𝑃₂ a-t-il été lancé ?

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Transcription de vidéo

Deux projectiles sont lancés dans le même sens à partir du même point en même temps. Le projectile 𝑃 un est lancé à un angle de 65 degrés au-dessus de l’horizontale à une vitesse de 2,5 mètres par seconde. Le projectile 𝑃 deux est lancé à un angle de 15 degrés au-dessus de l’horizontale. Les projectiles atterrissent au même point. À quelle vitesse le projectile 𝑃 deux a-t-il été lancé ?

Commençons par le schéma du projectile 𝑃 un. 𝑃 un est lancé selon un angle que nous appellerons 𝜃 un avec une vitesse initiale que nous appellerons 𝑉 un. La seule force agissant sur 𝑃 un provient du poids de l’objet qui a une intensité équivalente à la masse du projectile un, que nous appellerons 𝑚 un, multipliée par l’accélération due à la gravité, qui est 𝑔. Cette force due à la gravité agit vers le bas, donc la trajectoire du projectile dans l’air est courbe. Le projectile atterrit ensuite à une position qui se trouve à une distance horizontale du point de lancement 𝑅 un.

Maintenant, regardons le projectile 𝑃 deux. 𝑃 deux est lancé avec une vitesse initiale que nous appellerons 𝑉 deux à un angle au-dessus de l’horizontale que nous appellerons 𝜃 deux. De nouveau, la seule force agissant sur le projectile est le poids de l’objet, qui a une intensité égale à la masse du projectile 𝑃 deux, que nous appellerons 𝑚 deux, multipliée par l’accélération due à la gravité, qui est 𝑔. Tout comme le projectile 𝑃 un, 𝑃 deux aura une trajectoire courbe dans l’air. Et on nous dit dans la question que les projectiles atterrissent au même endroit. Nous appellerons 𝑅 deux la distance horizontale depuis la position de lancement de 𝑃 deux jusqu’à la position où il atterrit, qui est égale à 𝑅 un.

La question nous demande de trouver la vitesse à laquelle le projectile 𝑃 deux a été lancé. Nous devons donc trouver 𝑉 deux. Nous commencerons par l’équation de la portée horizontale du projectile, qui dit que la portée horizontale d’un projectile 𝑅 est égal à deux fois sa vitesse initiale au carré, qui est 𝑉 au carré, multipliée par cos 𝜃 multipliée par sin 𝜃, où 𝜃 est l’angle de lancement du projectile au-dessus de l’horizontale, divisé par 𝑔, l’accélération due à la gravité. Donc, pour le premier projectile, nous pouvons écrire 𝑅 un est égal à deux multiplié par 𝑉 un carré multiplié par cos 𝜃 un multiplié par sin 𝜃 un divisé par 𝑔. Et pour le deuxième projectile, 𝑃 deux, nous pouvons écrire 𝑅 deux est égal à deux multiplié par 𝑉 deux au carré multiplié par cos 𝜃 deux multiplié par sin 𝜃 deux divisé par 𝑔.

Maintenant, ce qui est intéressant ici, c’est qu’aucune de ces équations ne dépend de la masse des projectiles. Et c’est parce qu’ils subissent tous les deux la même accélération, qui est l’accélération due à la gravité. Nous savons que les projectiles atterrissent au même endroit, ce qui signifie que 𝑅 un est égal à 𝑅 deux. Donc, ces expressions à droite sont égales entre elles.

La question nous demande de trouver la vitesse à laquelle le projectile 𝑃 deux a été lancé. En d’autres mots, nous devons trouver une expression pour 𝑉 deux. Nous ferons cela en réarrangeant l’équation de droite. Nous commencerons par annuler les termes communs dans cette équation. Premièrement, nous allons diviser les deux côtés de l’équation par deux. Cela annulera les deux de chaque côté de l’équation. Ensuite, nous multiplierons les deux côtés de l’équation par 𝑔. Cela annulera le facteur un sur 𝑔 de chaque côté. Ensuite, nous allons diviser les deux côtés par cos 𝜃 deux et aussi par sin 𝜃 deux. Et nous remarquons que ces termes cos et sin à droite s’annulent.

Enfin, nous prenons la racine carrée des deux côtés, et la racine carrée de 𝑉 deux au carré vaut simplement 𝑉 deux. De même, nous pouvons extraire 𝑉 un de la racine carrée à gauche. En effet, la racine carrée de 𝑉 un carré multipliée par les autres termes à gauche est égale à la racine carrée de 𝑉 un carré multipliée par la racine carrée des autres termes. Et comme nous le savons, la racine carrée de 𝑉 un carré vaut simplement 𝑉 un. Donc, cela se réduit à 𝑉 un multiplié par la racine carrée des autres termes, ce qui donne notre expression finale pour 𝑉 deux.

Écrivons cela un peu plus proprement. 𝑉 deux est égal à 𝑉 un multiplié par la racine carrée de cos 𝜃 un multiplié par sin 𝜃 un divisé par cos 𝜃 deux multiplié par sin 𝜃 deux. Tout ce qui nous reste à faire est de substituer nos valeurs de 𝑉 un, 𝜃 un et 𝜃 deux dans cette équation. La question nous dit que le projectile 𝑃 un est lancé à un angle de 65 degrés au-dessus de l’horizontale. Donc 𝜃 un est égal à 65 degrés. Il nous indique également que le projectile 𝑃 un est lancé à une vitesse de 2,5 mètres par seconde. Donc 𝑉 un est égal à 2,5 mètres par seconde.

La question dit ensuite que le projectile 𝑃 deux est lancé à un angle de 15 degrés au-dessus de l’horizontale. Donc 𝜃 deux est égal à 15 degrés. En insérant ces valeurs dans notre équation, nous obtenons 𝑉 deux est égal à 2,5 mètres par seconde multiplié par la racine carrée de cos 65 degrés multiplié par sin 65 degrés divisé par cos 15 degrés multiplié par sin 15 degrés. Calculer cette valeur nous donne une réponse pour 𝑉 deux égale à 3,1 mètres par seconde.

Il est important de noter que, parce que le cosinus et le sinus d’un angle n’ont pas d’unités, les unités de 𝑉 deux seront les mêmes que les unités de 𝑉 un. Dans ce cas, 𝑉 un nous a été donné en unités SI soit des mètres par seconde. Donc, notre réponse est également en unités SI de mètres par seconde. Il n’est donc pas nécessaire que nous convertissions notre réponse en d’autres unités. Ainsi, la vitesse à laquelle le projectile 𝑃 deux a été lancé est de 3,1 mètres par seconde.

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