Transcription de la vidéo
La figure représente des lignes de champ concentriques correspondantes aux champs magnétiques créés par deux fils conducteurs parallèles. Le courant de droite est dirigé vers l’écran et le courant de gauche vers nous. Les deux courants ont la même intensité. Les rayons des lignes de champ représentées augmentent de manière constante. Et l’intensité du champ magnétique en un point autour d’un fil est inversement proportionnelle à la distance normale entre le point et le fil. Parmi les propositions suivantes, quelle est la liste donnant le classement correct des points selon un champ magnétique résultant allant du plus fort au plus faible ? (A) 𝐴, 𝐵, 𝐸, 𝐶, 𝐷; (B) 𝐴, 𝐸, 𝐶, 𝐵, 𝐷; (C) 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐵, 𝐴; (D) 𝐷, 𝐸, 𝐶, 𝐵, 𝐴; (E) 𝐸, 𝐵, 𝐴, 𝐶, 𝐷.
Après tout cela, voilà ce dont il est question ici. Nous avons deux fils conducteurs où circulent des courants. Le courant de l’un des fils est dirigé hors de l’écran, vers nous, et le courant du deuxième fil est dirigé vers l’écran, il s’éloigne de nous. Ces deux courants ont la même amplitude et créent des champs magnétiques autour d’eux-mêmes. Les cercles concentriques en pointillés gris représentent ces champs magnétiques. Nous pouvons voir qu’un ensemble de cercles est centré sur l’un des fils conducteurs et que l’autre ensemble est centré sur l’autre.
Précédemment, dans l’énoncé, on a dit que l’intensité du champ magnétique, que nous appellerons 𝐵, est inversement proportionnelle à la distance normale entre le fil et le point où l’on souhaite calculer l’intensité du champ. En fait, cela nous indique que plus nous nous éloignons d’un fil conducteur donné, plus l’intensité du champ associé à ce fil est faible. Mais nous avons également des informations plus précises. Considérons par exemple le champ magnétique associé à ce fil conducteur en particulier. On nous dit que les cercles concentriques sont espacés de la même distance.
Donc si nous nous éloignons d’un fil conducteur, par exemple en passant du premier au deuxième cercle, la distance par rapport au fil double. Nous avons aussi une relation inversement proportionnelle entre l’intensité du champ et la distance, ce qui veut dire qu’en passant du premier au deuxième cercle autour d’un fil conducteur donné, puisque la distance double, l’intensité de champ magnétique est divisée par deux. C’est-à-dire que le champ associé à ce fil conducteur à cet endroit est deux fois plus fort que le champ magnétique associé au même fil à cet endroit.
Comme nous l’avons vu, dans cet exercice, nous n’avons pas seulement un fil conducteur mais deux. Et chacun génère un champ magnétique. Ces deux champs se superposent. Et en plus des champs magnétiques, sur la figure, nous avons cinq points : 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸. L’objectif de cet exercice est de classer ou d’ordonner ces cinq points en fonction de l’intensité du champ magnétique. Autrement dit, nous voulons comparer l’intensité totale du champ magnétique au point 𝐴 avec celle au point 𝐵, celle au point 𝐶, celle au point 𝐷 et celle au point 𝐸.
Pour pouvoir comparer ces valeurs, nous devons d’abord les calculer. Pour cela, rappelons que l’intensité du champ magnétique à une distance normale 𝑟 d’un fil parcouru par un courant 𝐼 est donnée par cette expression. Ici, ce symbole 𝜇 zéro est la constante magnétique, également appelée la perméabilité du vide. Il s’agit d’une constante. Et comme nous l’avons vu, 𝐼 est le courant circulant dans le fil et 𝑟 est la distance perpendiculaire entre l’axe du fil et le point où nous voulons calculer l’intensité du champ magnétique 𝐵. Notons que cette équation en vert est la relation qui permet de dire que 𝐵 est inversement proportionnelle à 𝑟. Nous voulons calculer l’intensité résultante du champ magnétique en chacun des cinq points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸.
Pour cela, commençons par regarder le dernier point, le point 𝐸. Pour le point 𝐸, comme ce sera le cas pour tous les autres points, le champ magnétique résultant est lié aux deux fils conducteurs de courant. Le fil de droite est parcouru par un courant qui est dirigé vers l’écran. Donc, en utilisant la règle de la main droite, c’est-à-dire en orientant le pouce de la main droite dans la direction du courant, donc vers l’écran, la direction dans laquelle les doigts de la main vont se courber, dans notre cas dans le sens des aiguilles d’une montre, va indiquer la direction du champ magnétique créé par ce courant. Le fil conducteur qui transporte un courant dirigé vers l’écran crée un champ magnétique dirigé dans le sens des aiguilles d’une montre. Alors au point 𝐸, nous pouvons voir que ce champ va être dirigé vers le bas.
À ce point, nous allons décider que par convention les champs magnétiques dirigés vers le haut sont positifs et que les champs magnétiques dirigés vers le bas sont négatifs. Selon cette convention, le champ magnétique créé par le fil de droite au point 𝐸 est négatif. Mais le champ magnétique résultant en ce point comprend aussi le champ lié au fil de gauche. Ce fil, comme nous le savons, est parcouru par un courant dirigé hors de l’écran, vers nous. En utilisant de nouveau la règle de droite pour déterminer la direction du champ magnétique, nous voyons que ce champ magnétique est dirigé dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Au point 𝐸, le champ magnétique créé par ce fil conducteur de courant est donc positif.
Notons que la flèche rose associée au fil conducteur de gauche est plus courte que la flèche associée au fil conducteur de droite. Cette différence est due au fait que, comme nous pouvons le voir, le point 𝐸 est plus proche du fil conducteur de droite que de celui de gauche. Car l’intensité du champ 𝐵 est inversement proportionnel à la distance 𝑟. Comme la distance normale entre deux cercles concentriques consécutifs est la même, nous pouvons donner un nom à cette distance. Appelons-la 𝑟 minuscule.
Nous pouvons maintenant écrire l’intensité du champ magnétique résultant au point 𝐸 comme la somme du champ magnétique dû au fil conducteur de gauche et du champ magnétique dû au fil conducteur de droite. Pour déterminer le champ magnétique résultant, nous pouvons utiliser cette expression afin de déterminer la valeur de ces deux champs magnétiques en fonction de la distance entre chaque fil et le point 𝐸 et nous pouvons aussi utiliser la convention de signes.
La première chose à faire est de déterminer la distance entre le fil conducteur de gauche et le point 𝐸. En partant de ce fil, celui dont le courant se dirige hors de l’écran, vers nous, nous pouvons compter un, deux, trois, quatre centres concentriques depuis le fil pour atteindre le point 𝐸. Et nous pouvons écrire que l’intensité du champ magnétique créé par le fil de gauche au point 𝐸 vaut 𝜇 zéro fois 𝐼, qui est l’intensité du courant circulant dans l’un ou l’autre des fils, divisé par deux 𝜋 fois quatre 𝑟, qui est la distance normale entre le point 𝐸 et le fil conducteur de gauche.
Comme le champ magnétique créé par le fil de gauche au point 𝐸 est dirigé vers le haut, sa valeur est positive. De l’autre côté, le champ magnétique créé par le fil de droite en ce point à une valeur négative. C’est-à-dire qu’il est dirigé vers le bas. Nous pouvons donc remplacer le signe positif par un signe négatif. Et comme nous voyons sur la figure qu’il y a un cercle entre le fil de droite et le point 𝐸, nous pouvons écrire que l’intensité du champ magnétique créé par ce fil au point 𝐸 vaut moins 𝜇 zéro 𝐼 divisé par deux 𝜋 fois 𝑟. Notons que dans ces deux termes, nous avons 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟. Cela nous donne 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟 le tout multiplié par un huitième moins un demi.
En multipliant un demi par quatre divisé par quatre, qui est égal à un, de manière à ne pas modifier la valeur initiale, nous obtenons quatre divisé par huit. Un huitième moins quatre huitièmes est égal à moins trois huitièmes. Rappelons maintenant que nous voulons comparer l’intensité du champ magnétique résultant en chacun des cinq points. Pour chacun de ces points, ce que nous allons vraiment comparer, c’est la valeur du nombre entre parenthèses. Pour tous les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸, nous allons obtenir un facteur 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟. Nous allons en fait écrire la valeur significative du champ magnétique résultant au point 𝐸 de cette manière. Nous allons dire que l’intensité du champ magnétique au point 𝐸 est proportionnelle à trois divisé par huit.
Nous pouvons dire cela parce que cette valeur est égale à 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟 multiplié par trois huitièmes. Et dans cette expression, les facteurs devant moins trois huitièmes peuvent être considérés comme des constantes. Nous pouvons donc écrire que l’intensité du champ magnétique résultant au point 𝐸 est égale à une constante, que nous appellerons 𝑘, multipliée par trois huitièmes. Et mathématiquement, la signification est la même que dans l’expression précédente. Après avoir fait tout ça, voilà comment nous allons noter les informations importantes sur le champ magnétique total au point E.
Maintenant que nous en avons fini avec le point 𝐸 sur la figure, faisons de même pour le point 𝐷. De nouveau, le champ magnétique résultant en ce point est dû au champ magnétique créé par le fil de gauche et le fil de droite. Le point 𝐷 se trouve au niveau de l’origine des axes et il est donc à la même distance des deux fils et cette distance, nous pouvons le voir, est de 1,5𝑟. Le fil de gauche va créer un champ magnétique positif au point 𝐷, parce que le champ magnétique est orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et le fil de droite va aussi créer un champ magnétique orienté vers le haut, donc positif, en ce point, car son champ magnétique est orienté dans le sens des aiguilles d’une montre.
Notons que les champs magnétiques créés par ces deux fils vont donc s’additionner et non se soustraire. Et voici comment nous pouvons écrire le champ magnétique total. Encore une fois, nous utilisons la formule de base 𝜇 zéro 𝐼 divisé par deux fois 𝜋 fois la distance normale entre le fil et le point considéré.
Alors, dans les deux cas, la distance normale est d’un et demi 𝑟 ou de trois demis de 𝑟. En effet, le point 𝐷 est situé entre le premier et le deuxième cercle concentrique pour les deux fils. Avant d’ajouter ces deux termes, notons que le demi au dénominateur s’annule avec le facteur deux. Alors, en additionnant ces deux termes, nous obtenons deux fois 𝜇 zéro 𝐼 divisé par 𝜋 fois trois 𝑟. Dans cette expression, nous allons considérer 𝜇 zéro 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟 comme une constante. Et nous avons alors une valeur constante multipliée par deux tiers. Et ces deux tiers sont l’information importante que nous voulons conserver à propos du champ magnétique au point 𝐷. Pour cela, nous écrivons que l’intensité du champ magnétique résultant au point 𝐷 est proportionnelle à deux tiers.
Nous avons maintenant un moyen de comparer l’intensité du champ magnétique résultant, par exemple entre le point 𝐷 et le point 𝐸. Nous voulons le faire pour les cinq points, pour cela passons maintenant au point 𝐶 sur la figure. De nouveau, en ce point, les champs magnétiques créés par les deux fils sont dirigés vers le haut, qui est la direction positive. Et nous comptons un cercle concentrique entre le fil de gauche et le point 𝐶. La distance globale est donc de 𝑟 et si nous faisons de même pour le fil de droite, nous comptons deux cercles. La distance totale entre le point 𝐶 et le fil de droite est donc deux fois 𝑟.
Si nous factorisons ces deux termes en utilisant le terme constant que nous avons défini, 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟, nous avons entre parenthèses un demi plus un quart. Un demi multiplié par deux divisé par deux est égal à deux divisé par quatre. Et deux quarts plus un quart font trois quarts. Nous allons donc écrire que l’intensité du champ magnétique résultant au point 𝐶 est proportionnelle à trois quarts.
Passons maintenant au point 𝐵. Et nous voyons que ce point ne se situe pas exactement sur un des cercles concentriques de la figure. Mais, il est très proche de ce cercle. Pour cette raison, nous allons dire que le champ magnétique au point 𝐵 est approximativement égal au champ en un point situé sur ce cercle. Le champ magnétique créé par le fil de gauche au point 𝐵 est dirigé vers le bas, tandis que le champ créé par le fil de droite en ce point est dirigé vers le haut. Par conséquent, 𝐵 indice G, le champ magnétique créé par le fil de gauche au point 𝐵, est négatif, et la distance que nous allons utiliser est deux fois 𝑟. Rappelons qu’il s’agit d’une distance approximative très proche de la distance du point 𝐵.
Pour déterminer la distance à utiliser pour le champ magnétique créé par le fil de droite, nous pouvons compter les cercles depuis ce fil. Nous comptons un cercle, deux, trois, quatre cercles, c’est le dernier cercle associé au fil de droite. Mais nous avons encore un cercle pour atteindre la position où se situe approximativement le point 𝐵. Donc, pour 𝐵 indice D, nous allons écrire 𝜇 zéro 𝐼 divisé par deux 𝜋 fois cinq fois 𝑟.
En factorisant comme précédemment 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟, nous obtenons moins un quart plus un dixième. En multipliant moins un quart par cinq divisé par cinq et un dixième par deux divisé par deux, nous obtenons moins cinq vingtièmes plus deux vingtièmes. Ce qui fait moins trois vingtièmes. Cette valeur entre parenthèses est la valeur à retenir pour le champ magnétique au point 𝐵. Nous pouvons alors écrire que l’intensité du champ magnétique résultant au point 𝐵 est proportionnelle à trois vingtièmes.
Pour la dernière étape, nous allons suivre le même processus pour déterminer le champ magnétique au point 𝐴. Notons que, tout comme le point 𝐵, le point 𝐴 ne se trouve pas exactement sur un des cercles concentriques. Cependant, il est très proche du cercle situé en un, deux, trois, troisième, troisième position depuis le fil de gauche. Nous allons supposer que le point 𝐴 se trouve là. En ce point, le fil de gauche crée un champ magnétique dirigé vers le bas, donc négatif, tandis que le fil de droite crée un champ magnétique dirigé vers le haut, donc positif. Au point 𝐴, la contribution du fil de gauche est de moins 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par deux 𝜋 fois trois 𝑟.
Par ailleurs, le fil de droite est situé à une distance de un, deux, trois, quatre cercles plus un, deux de ces autres cercles. Cela nous donne une distance totale approximative de six 𝑟 entre le point 𝐴 et le fil de droite. En prenant en compte 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟, dans les parenthèses, nous avons moins un sixième plus un douzième. Moins un sixième fois deux divisé par deux est égal à moins deux douzièmes. Et moins deux douzièmes plus un douzième font moins un douzième. Donc, voici comment s’écrit l’intensité du champ magnétique résultant au point 𝐴. La valeur est proportionnelle à un douzième. Comme précédemment, nous avons considéré 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par 𝜋 fois 𝑟 comme une constante.
Nous avons maintenant toutes les informations nécessaires pour comparer l’intensité du champ magnétique résultant en chacun des cinq points. Commençons par déterminer la valeur la plus grande parmi les cinq valeurs encadrées en orange. Parmi ces valeurs, nous pouvons voir que la valeur la plus grande est trois quarts. Dans le classement des intensités de champs magnétiques résultants, le point 𝐶 doit venir en premier. Il se trouve que nous n’avons qu’une seule proposition commençons par le point C Juste pour être sûr que la proposition (C) est la bonne, comparons les valeurs des points restants. Après trois quarts, la valeur la plus grande parmi les valeurs encadrées en orange est deux tiers. Cela correspond au point 𝐷, ce qui est cohérent avec la réponse (C).
Ensuite, la valeur suivante la plus grande est trois huitièmes. C’est la valeur correspondante au point 𝐸, que nous voyons également dans la liste de la réponse (C). Après cela, la valeur la plus grande est trois vingtièmes, suivie d’un douzième. Ce sont les valeurs correspondantes respectivement aux points 𝐵 et 𝐴. La proposition (C) est donc la bonne réponse. Selon un champ magnétique résultant allant du plus fort au plus faible, l’ordre des points est le point 𝐶, puis le point 𝐷, puis le point 𝐸 suivi du point 𝐵 et enfin du point 𝐴.
