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Vidéo de question : Utilisation d’opérations sur des matrices pour évaluer une expression algébrique impliquant des matrices identité Mathématiques

Sachant que 𝐴 = [−5, −6, 5, 0], déterminez 𝐴² + 5𝐴 + 30𝐼.

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Transcription de vidéo

Sachant que la matrice 𝐴 est égale à moins cinq, moins six, cinq, zéro, déterminez 𝐴 au carré plus cinq 𝐴 plus 30𝐼.

Alors, pour résoudre ce problème, nous allons traiter chaque partie séparément, donc 𝐴 au carré, cinq 𝐴 et puis 30𝐼. Bien, la première chose que nous allons examiner est 𝐼 car vous pourriez vous demander : « Bien, qu’est-ce que 𝐼 ? » 𝐼 est la matrice identité. Une matrice identité est une matrice carrée ; ainsi, elle va avoir des un sur la diagonale principale et des zéros partout ailleurs. Puisque nous examinons des matrices deux par deux, cela nous donnerait la matrice identité un, zéro, zéro, un.

Bien, nous avons bien compris ce que 𝐼 est, à savoir une matrice identité. Ensuite, passons à 𝐴 au carré où nous allons trouver 𝐴 au carré en multipliant la matrice moins cinq, moins six, cinq, zéro par elle même Tout d’abord, nous savons que la matrice résultante sera, elle, une matrice deux par deux aussi. En effet, si nous multiplions une matrice deux par deux par une matrice deux par deux, alors, comme nous l’avons dit, la matrice résultante sera également une matrice deux par deux.

Alors, afin de déterminer le premier élément, nous allons multiplier le premier élément de la première ligne de la première matrice par le premier élément de la première colonne de la deuxième matrice. Puis, nous allons ajouter ceci au deuxième élément de la première ligne de la première matrice multiplié par le deuxième élément de la première colonne de la deuxième matrice, ce qui nous donne moins cinq multiplié par moins cinq plus moins six multiplié par cinq, ce qui va nous donner 25 moins 30. Ensuite, pour notre prochain élément, nous multiplions les éléments correspondants de la première ligne de la première matrice par la deuxième ligne de la deuxième matrice, puis nous les additionnons. Cela nous donne moins cinq multiplié par moins six plus moins six multiplié par zéro, ce qui va nous donner 30 plus zéro.

Puis, en répétant cette méthode pour l’élément suivant, nous avons cinq multiplié par moins cinq plus zéro multiplié par cinq, ce qui nous donne moins 25 plus zéro. Enfin, nous avons cinq multiplié par moins six plus zéro multiplié par zéro, ce qui nous donne moins 30 plus zéro. Finalement, nous pouvons simplifier cela. Lorsque nous le faisons, nous obtenons la matrice moins cinq, 30, moins 25, moins 30. Très bien. Nous avons calculé 𝐴 au carré.

Ensuite, jetons un coup d’œil à cinq 𝐴. Bien, pour trouver cinq 𝐴, la démarche est encore plus simple parce que nous multiplions tout simplement un scalaire par une matrice, ce qui revient à multiplier chaque élément de la matrice par une scalaire, dans ce cas, cinq. Ainsi, nous faisons cinq multiplié par la matrice moins cinq, moins six, cinq, zéro. Après les calculs, nous obtenons la matrice moins 25, moins 30, 25, zéro.

Il nous reste alors calculer 30𝐼. Encore une fois, il s’agit d’une valeur scalaire multipliée par une matrice, donc 30 multipliée par la matrice un, zéro, zéro, un, qui est notre matrice identité, ce qui va nous donner la matrice 30, zéro, zéro, 30. Bien, nous sommes sur la bonne route. Ensuite, ce que nous devons faire est de tout rassembler pour trouver 𝐴 carré plus cinq 𝐴 plus 30𝐼. Si nous ajoutons 𝐴 au carré plus cinq 𝐴 plus 30𝐼, cela va être égal à la matrice moins cinq, 30, moins 25, moins 30 plus la matrice moins 25, moins 30, 25, zéro plus la matrice 30, zéro, zéro, 30.

Pour calculer cette somme, nous devons additionner les éléments correspondants de chacune de nos matrices. Ainsi, notre premier élément sera moins cinq plus moins 25 plus 30. Ensuite, notre prochain élément sera 30 plus moins 30 plus zéro. Ensuite, en continuant de la même manière, nos deux éléments suivants seront moins 25 plus 25 plus zéro et moins 30 plus zéro plus 30.

Après, nous devons calculer chacun de nos éléments individuels. Ainsi, tout d’abord, moins cinq plus moins 25 est moins 30 plus 30 donne zéro. Ensuite, si nous passons à l’élément suivant, 30 plus moins 30 est zéro plus zéro donne encore zéro. Ensuite, nous passons à la ligne du bas, nous avons moins 25 plus 25 qui est zéro plus zéro est zéro, et enfin, moins 30 plus zéro plus 30 qui est également zéro.

Nous pouvons donc dire que, sachant que la matrice 𝐴 est égale à moins cinq, moins six, cinq, zéro, alors 𝐴 au carré plus cinq 𝐴 plus 30𝐼 est la matrice zéro, zéro, zéro, zéro.

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