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Vidéo de question : Résoudre des équations logarithmiques Mathématiques

Résolvez pour 𝑥, log₄₉ 𝑥 = −1/2.

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Transcription de vidéo

Résolvez pour 𝑥, log de base 49 𝑥 est égal à moins un demi.

Voici notre log, log de base 49 de 𝑥 est égale à moins un demi. La première chose que nous pouvons faire est d’essayer de rendre ce membre de l’équation égal à un. Si nous multiplions les deux membres de l’équation par moins deux, nous obtiendrons moins deux fois log de base 49 de 𝑥 égale un. Moins deux fois moins un demi est égal à plus un. À ce stade, nous voulons nous souvenir de l’une de nos règles de logarithme avec la forme 𝑘 fois log de base 𝑏 de 𝑚, où 𝑘 est une constante. Nous pouvons réécrire cela. C’est égal à log de base 𝑏 de 𝑚 à la puissance 𝑘.

Dans notre exemple, la constante 𝑘 est moins deux. Donc, nous allons réécrire ceci pour dire que log de base 49 de 𝑥 à la puissance moins deux est égale à un. À ce stade, nous devrons envisager une autre règle de logarithme, selon laquelle log de base 𝑏 de 𝑏 est égale à un. Puisque nous savons que ce log est égal à un, nous pouvons dire que 𝑥 à la puissance moins deux est égal à 49. 49 est égal à 𝑥 à la puissance moins deux. Nous pourrions réécrire cela pour dire que 49 est égal à un sur 𝑥 au carré.

Si 49 est égal à un sur 𝑥 au carré, nous pouvons multiplier les deux membres de l’équation par 𝑥 au carré. Et disons que 𝑥 au carré fois 49 est égal à un. Ensuite, nous divisons les deux membres par 49, et nous voyons que 𝑥 au carré est égal à un sur 49. Donc, nous prenons la racine carrée des deux membres de l’équation. Et 𝑥 sera égal à plus ou moins la racine carrée de un sur la racine carrée de 49. La racine carrée de un est un. Et la racine carrée de 49 est sept. À ce stade, nous avons 𝑥 égal à plus ou moins un septième.

Cependant, lorsque nous revenons à notre 𝑥 d’origine, nous voyons que nous prenons le logarithme de 𝑥. Et nous ne pouvons pas prendre le logarithme d’un nombre négatif. Donc, nous disons que 𝑥 n’est pas égal à moins un septième. C’est seulement égal au résultat positif ; 𝑥 est égal à un septième. Pour vérifier, nous insérons dans notre calculatrice log de base 49 de un septième. Et nous nous attendons à ce qu’il nous donne moins un demi, c’est ce qu’il fait.

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