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Vidéo de question : Déterminer la vitesse initiale et l’accélération d’une particule à partir de l’expression de son déplacement en fonction du temps Mathématiques

Une particule se déplace en ligne droite. Après un temps de 𝑡 secondes, où 𝑡 ≥ 0, le déplacement de l’objet relatif à un point fixe est donné par 𝐬 = [((5/6 𝑡³) + 5𝑡) 𝐜] m, où 𝐜 est un vecteur unitaire fixé. Déterminez le vecteur vitesse initiale 𝐯₀ de la particule et son accélération 𝐚, après 5 secondes de déplacement.

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Transcription de vidéo

Une particule se déplace en ligne droite. Après un temps de 𝑡 secondes, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, le déplacement de l’objet relatif à un point fixe est donné par 𝐬 est égal à cinq sixièmes de 𝑡 au cube plus cinq 𝑡 𝐜 mètres, où 𝐜 est un vecteur unitaire fixé. Déterminez le vecteur vitesse initiale la 𝐯 zéro de la particule et son accélération 𝐚, après cinq secondes de déplacement.

Le déplacement, 𝐬, est donné comme une fonction vectorielle. Nous cherchons à trouver le vecteur vitesse initiale 𝐯 zéro et l’accélération de la particule après cinq secondes de déplacement. Commençons donc par rappeler les relations entre les vecteurs déplacement, vitesse et accélération. Le vecteur vitesse est le taux de variation temporelle du vecteur déplacement d’un objet. En d’autres termes, on peut trouver une expression pour le vecteur vitesse en dérivant l’expression du vecteur déplacement par rapport au temps. Ceci vaut également pour les fonctions vectorielles. Ainsi le vecteur 𝐯 est égal à la dérivée du vecteur pour 𝐬 par rapport à 𝑡.

De même, l’accélération est le taux de variation temporelle du vecteur vitesse. Ainsi on dérive notre expression du vecteur vitesse par rapport au temps pour trouver une expression pour le vecteur accélération. Puisque le vecteur vitesse est la dérivée première du vecteur déplacement par rapport au temps, ceci signifie également que le vecteur accélération est la dérivée seconde du vecteur déplacement. C’est d deux 𝐬 sur d𝑡 au carré. Commençons donc par trouver une expression pour le vecteur vitesse de la particule 𝐯 à l’instant 𝑡. Pour ce faire, nous allons dériver l’expression cinq sixièmes 𝑡 au cube plus cinq 𝑡 par rapport à 𝑡.

Et donc nous commençons par rappeler que pour dériver un terme avec un exposant, on multiplie ce terme par cet exposant puis on réduit l’exposant de un. Ainsi la dérivée de cinq sixièmes 𝑡 au cube par rapport à 𝑡 est trois fois cinq sixièmes 𝑡 au carré. Et ceci donne cinq sur deux 𝑡 au carré. Ensuite si on considère cinq 𝑡 comme cinq 𝑡 à la puissance un, la dérivée est un fois cinq 𝑡 à la puissance zéro. Mais cinq 𝑡 à la puissance zéro est simplement cinq fois un, ce qui fait cinq. Et donc le vecteur 𝐯 est cinq sur deux 𝑡 au carré plus cinq 𝐜. Et puis on voit bien que ses unités sont mètres par seconde.

Alors comment peut-on trouver la vitesse initiale de la particule 𝐯 zéro ? Eh bien, la vitesse initiale est calculée en fixant le temps 𝑡 égal à zéro. C’est cinq sur deux fois zéro au carré plus cinq fois le vecteur unitaire 𝐜. Cinq sur deux fois zéro au carré est zéro. Nous obtenons donc cinq 𝐜 mètres par seconde pour 𝐯 zéro, la vitesse initiale. Maintenant que nous avons calculé la vitesse initiale, calculons l’accélération 𝐚 après cinq secondes de déplacement.

Pour ce faire, nous commençons par dériver l’expression du vecteur vitesse 𝐯 pour trouver une expression pour 𝐚 à l’instant 𝑡. La dérivée de cinq sur deux 𝑡 au carré est deux fois cinq sur deux 𝑡, ce qui est simplement cinq 𝑡. Ensuite lorsque nous dérivons la constante cinq, nous obtenons zéro. Donc l’expression pour le vecteur accélération 𝐚 à l’instant 𝑡 est cinq 𝑡 fois le vecteur unitaire 𝐜. Et ses unités sont mètres par seconde au carré ou mètres par seconde par seconde.

Pour trouver l’accélération de la particule cinq secondes après qu’elle commence à se déplacer, on va faire 𝑡 égal à cinq. Cela nous donne cinq fois cinq fois le vecteur unitaire 𝐜 mètres par seconde carrée, soit 25 𝐜 mètres par seconde carrée. Et donc nous voyons que le vecteur vitesse initiale 𝐯 zéro est de cinq 𝐜 mètres par seconde et l’accélération à 𝑡 égale à cinq est de 25 𝐜 mètres par seconde carrée.

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