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Simplifiez la sécante de 𝜃 multipliée par la tangente de 𝜃 multipliée par la tangente de 270 degrés plus 𝜃.
Lorsque nous traitons un problème de ce type, il n’est pas toujours évident de savoir par où commencer. En règle générale, il convient d’essayer de rendre l’argument identique pour toutes les parties de l’expression. Dans cette question, nous commencerons par écrire la tangente de 270 degrés plus 𝜃 simplement en fonction de 𝜃. Une façon de le faire est de commencer par considérer le cercle trigonométrique comme indiqué. Ajouter 270 degrés à notre angle 𝜃 nous place dans la même position sur le cercle trigonométrique que soustraire 90 degrés de 𝜃. Cela signifie que la tangente de 270 degrés plus 𝜃 est égal à la tangente de 𝜃 moins 90 degrés. Cela ressemble à l’une de nos identités de cofonction, qui stipule que la tangente de 90 degrés moins 𝜃 est égale à la cotangente de 𝜃.
Si nous factorisons par moins un dans l’expression entre parenthèses, nous avons la tangente de moins 90 degrés moins 𝜃. Nous rappelons que la fonction tangente est impaire telle que la tangente de moins 𝛼 est égal à moins tangente 𝛼. La tangente de moins 90 degrés moins 𝜃 est donc égale à moins tangente de 90 degrés moins 𝜃. En utilisant l’identité de cofonction, celle-ci est donc égale à moins cotangente 𝜃. Notre expression initiale devient donc la sécante de 𝜃 multipliée par la tangente de 𝜃 multipliée par moins la cotangente de 𝜃.
Ensuite, nous savons que l’une des identités réciproques dit que cotangente 𝜃 est égal à un sur tangente 𝜃. Cela signifie que moins cotangente 𝜃 est égal à moins un sur tangente 𝜃. Nous pouvons maintenant annuler les tangente 𝜃, nous laissant avec sécante 𝜃 multiplié par moins un. Ceci est égal à moins sécante 𝜃. Puisque la fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus, nous pouvons également l’écrire comme moins un sur cosinus 𝜃. Cependant, dans cette question, nous laisserons l’expression sécante 𝜃 multipliée par tangente 𝜃 multipliée par la tangente de 270 degrés plus 𝜃 comme moins sécante 𝜃 dans sa forme la plus simple.
