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Supposons que 𝑋 et 𝑌 soient deux événements vérifiant que la probabilité de 𝑌 est égale à un tiers et que la probabilité de 𝑋 est égale à la probabilité du complémentaire de 𝑋. Sachant que la probabilité de l'intersection de 𝑋 et 𝑌 est égale à un huitième, déterminez la probabilité de l'union de 𝑋 et 𝑌.
On nous donne dans cette question deux événements 𝑋 et 𝑌. On nous dit que la probabilité que l'événement 𝑌 se produise est de un tiers et que la probabilité que l'événement 𝑋 se produise est égale à la probabilité que le complémentaire de 𝑋 se produise. On nous dit également que la probabilité de l'intersection de ces deux événements est de un huitième, c'est-à-dire la probabilité que les deux événements se produisent. Nous voulons utiliser cette information pour déterminer la probabilité de l'union de ces événements, c'est-à-dire la probabilité que l'un ou l'autre événement se produise.
Pour déterminer cette probabilité, nous pouvons commencer par se rappeler que la règle additive de probabilité nous dit que pour tout événements 𝑋 et 𝑌, la probabilité de l'union des événements 𝑋 et 𝑌 est égale à la probabilité de 𝑋 plus la probabilité de 𝑌 moins la probabilité de l'intersection de 𝑋 et 𝑌. On nous donne deux de ces probabilités dans la question. Nous pouvons donc déterminer la probabilité de l'union de 𝑋 et 𝑌 si nous pouvons déterminer la probabilité de 𝑋. Nous pouvons trouver la probabilité de 𝑋 en utilisant le fait que la probabilité de 𝑋 est égale à la probabilité du complémentaire de 𝑋. Autrement dit, la probabilité que 𝑋 se produise est égale à la probabilité qu'il ne se produise pas.
Cela suffit pour conclure que la probabilité que 𝑋 se produise est égale à un demi. Cependant, il peut s'avérer utile de montrer ce résultat de manière formelle. Nous pouvons rappeler que pour tout événement 𝑋, la probabilité que 𝑋 se produise est égale à un moins la probabilité qu'il ne se produise pas. On nous dit que la probabilité du complémentaire de 𝑋 est égale à la probabilité de 𝑋, nous pouvons donc substituer dans l'équation. Cela nous donne que la probabilité de 𝑋 est égale à un moins la probabilité de 𝑋. Nous pouvons maintenant déterminer la probabilité de 𝑋.
On ajoute 𝑃 de 𝑋 aux deux membres de l'équation pour obtenir deux 𝑃 de 𝑋 égale un. Ensuite, on divise les deux membres de l'équation par deux pour obtenir 𝑃 de 𝑋 égale un demi. Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans la formule de la règle additive de probabilité pour déterminer la probabilité que l'événement 𝑋 se produise ou que l'événement 𝑌 se produise. Cela nous donne que la probabilité de l'union de 𝑋 et 𝑌 est égale à un demi plus un tiers moins un huitième. Nous pouvons maintenant évaluer cette expression en écrivant chaque probabilité avec un dénominateur commun de 24. Nous avons 12 sur 24 plus huit sur 24 moins trois sur 24. Nous pouvons ensuite évaluer cette expression pour obtenir notre réponse finale 17 sur 24.
