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Vidéo de la leçon: Loi des cosinus Mathématiques • Deuxième secondaire

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer les longueurs de côtés et les mesures d'angles inconnues dans des triangles non rectangles en utilisant la loi des cosinus.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner le principe général de la loi des cosinus pour nous assurer que nous sommes à l’aise de l’appliquer dans les situations où les lettres qui nous sont données dans une question ne correspondent pas aux lettres tels qu’ils apparaissent dans la formule standard pour la loi des cosinus. Nous allons examiner la structure de la loi des cosinus et voir comment nous pouvons identifier quelles valeurs d’une question ou d’une figure doivent être substituées dans quelles parties de la formule.

Donc, c’est la loi des cosinus car elle est généralement introduite ou peut-être écrite dans un manuel ou une feuille de formule. Vous avez souvent un triangle dans lequel les trois sommets sont étiquetés comme 𝐴, 𝐵 et 𝐶 en utilisant des majuscules. Et les trois côtés sont étiquetés comme 𝑎, 𝑏 et 𝑐 en utilisant des lettres minuscules. C’est toujours le cas que le côté 𝑎 est opposé à l’angle 𝐴, le côté 𝑏 est opposé à l’angle 𝐵 et le côté 𝑐 est opposé à l’angle 𝐶. La loi des cosinus est alors écrite sous cette forme ici. 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cos 𝐴.

Et cette loi des cosinus vous permet de calculer la longueur du côté 𝑎 si vous connaissez le côté 𝑏, le côté 𝑐 et l’angle 𝐴. Maintenant, c’est génial si le triangle qui vous est donné est étiqueté exactement de cette façon ici, et si on vous a donné exactement les bonnes informations. Mais que se passe-t-il si en fait je voulais calculer le côté 𝑏 ? Ou si le triangle n’était pas du tout étiqueté 𝐴𝐵𝐶, mais était en fait étiqueté 𝐸, 𝐹 et 𝐺 ? Ou peut-être qu’on ne vous donne aucune étiquette, peut-être qu’on vous donne des longueurs et des angles dans le triangle.

Ce que nous devons examiner, c’est la structure générale derrière la loi des cosinus afin que nous puissions l’appliquer dans l’un de ces différents paramètres. Revenons donc à cette forme standard de la loi des cosinus, regardons les informations qui nous sont données. Nous cherchons à calculer la longueur d’un côté. Et dans la forme standard, c’est la longueur du côté 𝑎. Les informations dont nous aurions besoin pour ce faire en utilisant la loi des cosinus sont la longueur du côté 𝑏, la longueur du côté 𝑐 et la mesure de l’angle 𝐴.

Maintenant, c’est un ensemble très spécifique d’informations dans ce triangle. Il s’agit de deux côtés, puis de l’angle inclus. Autrement dit, l’angle entre eux. Lorsque vous cherchez à utiliser la loi des cosinus pour calculer la longueur d’un côté, c’est toujours ce même ensemble d’informations dont vous avez besoin. Si vous regardez la loi des cosinus, vous voyez qu’en fait c’est symétrique en 𝑏 et 𝑐. Ils sont tous les deux au carré et additionnés, puis ils apparaissent tous les deux dans la deuxième partie où nous multiplions par deux et multiplions par cosinus de 𝐴 et soustrayons cela. Par conséquent, peu importe de quel côté est 𝑏 et lequel est 𝑐 car vous faites exactement la même chose avec chacun d’eux.

Donc, en fait, nous pouvons oublier complètement les étiquettes 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et regarder simplement où les côtés et les angles apparaissent dans cette loi des cosinus. Par exemple, dans cette question ici, supposons que l’on nous donne cet ensemble d’informations. Les deux côtés mesurent quatre centimètres et 12 centimètres. Et l’angle inclus est de 40 degrés. Et nous cherchons à calculer la longueur du troisième côté ici, qui est appelé 𝑥.

Maintenant, il n’y a pas de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans cette figure, mais regardons comment nous écririons la loi des cosinus pour cette question. Nous cherchons à calculer 𝑥, nous allons donc commencer par 𝑥 au carré. Maintenant, la loi des cosinus a alors 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. N’oubliez pas que 𝑏 et 𝑐 représentent simplement les deux autres côtés. Donc, pour cette question, ce sera quatre carrés et 12 carrés. Ensuite, nous devons examiner ce deuxième terme. C’est moins deux multiplié par 𝑏𝑐, tout d’abord. Et, encore une fois, 𝑏 et 𝑐 représentent simplement les deux autres côtés. Donc, ce sera 4 et 12.

Enfin, nous avons besoin de cos d’angle 𝐴. Maintenant, encore une fois, il n’y a pas de 𝐴 dans ce triangle. Mais cet angle n’est que l’angle opposé au côté que nous cherchons à calculer, l’angle inclus entre ces deux côtés. Donc, c’est 40 degrés. Ainsi, tout en prenant en compte les informations que j’ai été donné et la structure de la loi des cosinus, j’ai écrit ce qu’il serait pour ce triangle particulier sans la nécessité d’une 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 partout s du tout.

Donc, juste pour être complet, nous allons travailler sur le reste de cette question. Nos 4 carrés et 12 carrés ensemble font 160. Et deux fois quatre fois 12 est 96. Donc, j’ai 𝑥 au carré est égal à 160 moins 96 cos 40. Cela me dit alors que 𝑥 au carré est égal à 86.45973346. Et si je racine carrée des deux côtés, j’ai que 𝑥 est égal à 9.298376. Maintenant, je vais arrondir cela peut-être à une décimale près. Et donc, nous avons que le côté final de ce triangle est de 9.3 centimètres.

Ainsi, les 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont utiles pour avoir un format dans lequel nous pouvons écrire la loi des cosinus, mais c’est la réflexion sur la structure derrière elle qui nous permet de l’appliquer réellement en général.

Calculez le côté 𝑏 au centième près.

Maintenant, dans cette question, nous allons utiliser la loi des cosinus. Donc, je vais juste le rappeler en utilisant sa définition standard si vous le recherchez dans un manuel. Et c’est cette définition ici. Maintenant, cela va être assez déroutant dans cet exemple, car on ne nous demande pas de calculer le côté 𝑎, on nous demande de calculer le côté 𝑏. Maintenant, vous pensez peut-être, oh, ça va, je vais juste réorganiser cette formule pour que j’obtienne 𝑏 au carré égal.

Et si vous faites cela, vous auriez 𝑏 au carré est égal à 𝑎 au carré moins 𝑐 au carré plus deux 𝑏𝑐 cos 𝐴. Maintenant, voici le problème. Cela vous obligerait à connaître les côtés 𝑎 et 𝑐, ce que nous faisons. Ce sont les côtés opposés aux angles 𝐴 et 𝐶. Donc, ils sont neuf centimètres et cinq centimètres. Mais l’autre élément d’information dont nous aurions besoin est l’angle 𝐴. Et en regardant la figure, vous pouvez voir que nous n’avons pas reçu l’angle 𝐴. On nous a donné l’angle 𝐵.

Donc, simplement réorganiser la loi des cosinus à partir de cette formule standard ne fonctionne pas parce que nous n’avons pas reçu le bon ensemble d’informations pour l’appliquer. Au lieu de cela, ce que nous devons faire est d’écrire notre propre version de la loi des cosinus, où nous parcourons les lettres pour que nous cherchions à calculer le côté 𝑏. Donc, voici les informations que nous avons, les deux côtés et l’angle inclus, qui est exactement la configuration dont nous avons besoin pour utiliser la loi des cosinus.

Donc, ce que je vais faire, c’est que je vais à nouveau écrire la loi des cosinus, mais en faisant défiler les lettres. Je veux calculer 𝑏, donc je vais commencer par 𝑏 au carré. Ensuite, la loi des cosinus me dit que je mets au carré chacun des deux autres côtés. Donc, dans ce cas, cela va être 𝑎 au carré plus 𝑐 au carré. Il me dit alors que je fais moins deux multipliés par 𝑏 et 𝑐, qui sont les deux autres côtés. Eh bien, dans ce cas, ça va être moins deux multiplié par 𝑎 et 𝑐. Enfin, je fais cos de l’angle inclus, donc dans ce cas, ça va être cos de l’angle 𝐵.

Donc, ce n’est pas un réarrangement de la loi des cosinus car vous pouvez voir qu’il inclut le cos de l’angle 𝐵 au lieu du cos de l’angle 𝐴. Au lieu de cela, c’est une réécriture de la loi des cosinus en utilisant les lettres dans un ordre différent. Et maintenant, j’ai une version que je peux utiliser pour répondre à cette question. Je peux donc substituer les informations pertinentes. J’ai alors que 𝑏 carré est égal à neuf carrés plus cinq carrés, tout d’abord, moins deux fois neuf fois cinq fois cos de 120. Et maintenant, je peux simplement parcourir les étapes ici.

Donc, j’ai 𝑏 au carré est égal à 106 moins 90 cos 120. Cela me dit que 𝑏 au carré est égal à 151 exactement. C’est parce que cos de 120 est une valeur exacte. C’est juste moins un demi. Si je prends ensuite la racine carrée, j’ai que 𝑏 est égal à 12.288205. Et la question m’a demandé cette valeur au centième près, je vais donc arrondir ma réponse. Et nous avons alors que 𝑏 est égal à 12.29 centimètres.

Ainsi, lorsque vous répondez à une question comme celle-ci, vous pouvez rechercher la loi des cosinus sous la forme dans laquelle elle est généralement donnée ou peut-être avez-vous mémorisé cette forme. Mais si le côté que vous recherchez n’est pas le côté 𝑎, vous devez réfléchir à la façon dont vous pouvez permuter les lettres afin de le rendre pertinent pour le côté que vous cherchez à calculer. N’oubliez pas que vous faites cela en considérant simplement la structure de la loi des cosinus et le fait qu’elle inclut les deux autres côtés du triangle et l’angle inclus, qui est l’angle opposé au côté que vous cherchez à calculer.

Calculez la mesure de l’angle 𝑄 au degré près.

Donc, dans cette question, on nous a donné les longueurs des trois côtés d’un triangle et on nous demande de calculer l’un des angles. Maintenant, c’est exactement la configuration requise pour utiliser la loi des cosinus. Donc, si vous cherchiez la loi standard des cosinus, cela ressemblerait probablement à quelque chose comme ça. 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cos 𝐴.

Si vous cherchez à calculer la taille d’un angle, comme nous le sommes dans cette question, cela peut être réorganisé en quelques étapes pour vous donner cette formule ici. Cos de 𝐴 est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré sur deux 𝑏𝑐. Cependant, il n’y a pas de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans cette question. Cette question implique 𝑄, 𝑅 et 𝑆, nous devons donc réfléchir à la façon dont nous pouvons appliquer cette version de la loi des cosinus dans cette question.

Nous devons donc examiner la structure de cette loi des cosinus. Il y a deux côtés qui sont toujours traités de manière identique, 𝑏 et 𝑐 sont tous les deux au carré et ajoutés au numérateur, tandis que 𝑎 au carré mais ensuite soustrait. 𝑏 et 𝑐 apparaissent également dans le dénominateur. Donc, ces deux côtés qui sont traités de manière identique sont les deux côtés qui entourent l’angle que nous recherchons. Donc, dans ce cas, ce serait le côté de huit centimètres et 10 centimètres.

Le troisième côté, qui est traité différemment dans la loi des cosinus, n’apparaît qu’au numérateur et est soustrait plutôt qu’additionné. C’est le côté opposé à l’angle que nous cherchons à calculer. Donc, je n’ai pas besoin de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Je peux simplement écrire la loi des cosinus en réfléchissant à la position des côtés par rapport à cet angle.

Donc, nous avons cos de 𝑄 est égal à, eh bien, les deux côtés à côté, tout d’abord, sont huit et 10, donc nous aurons 8 carrés plus dix carrés. Ensuite, je dois soustraire le carré du côté opposé, de sorte que ce sera moins 15 au carré. Ensuite, je dois diviser cela par deux multiplié par les deux côtés qui entourent cet angle. Donc, c’est deux multiplié par huit multiplié par 10.

Si j’évalue ensuite tout cela, j’ai la cause de l’angle 𝑄 est égal à moins 61 sur 160. Pour calculer l’angle 𝑄, je dois utiliser le cosinus inverse. Donc, 𝑄 est égal au cosinus inverse du moins 61 sur 160. Cela me donne une valeur de 112.411132. Et on m’a demandé de donner ceci au degré près, donc ma réponse finale est que l’angle 𝑄 est de 112 degrés au degré près. Donc, encore une fois, il n’y avait pas de 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 dans notre question. Nous venons de regarder la structure de la loi des cosinus afin de déterminer quelle valeur doit être substituée où.

Supposons maintenant que l’on me demande de calculer l’angle 𝑆 cette fois. Donc, encore une fois, je regarderais la structure de la loi des cosinus. Donc, tout d’abord, je dois rectifier deux côtés et les ajouter ensemble. Donc, cela doit être les deux côtés adjacents à l’angle 𝑆, qui va être le huit et le 15. Ensuite, je dois rectifier et soustraire le côté restant, donc j’aurai moins 10 au carré.

Au dénominateur, j’ai besoin de deux multipliés par les deux côtés adjacents à cet angle 𝑆. Donc, encore une fois, ce seront les huit et les 15. Et là, nous avons une équation que nous pourrions continuer à résoudre si nous le voulions afin de calculer la mesure de cet angle 𝑆. Donc, juste en regardant la structure de la loi des cosinus, nous pouvons l’appliquer à n’importe quelle question comme celle-ci. N’oubliez pas que chaque fois que deux côtés sont traités de manière identique dans la formule, ces deux côtés doivent être les côtés qui entourent l’angle que nous cherchons à calculer.

En résumé, il est utile d’apprendre la définition de la loi des cosinus sous sa forme standard impliquant 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Mais pour s’appliquer efficacement à une série de problèmes, il vous suffit de regarder la structure de la loi et vous devez être à l’aise avec ce que les lettres représentent en termes de côtés adjacents, de côtés opposés et d’angles inclus.

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