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Vidéo de question : Calculer une coordonnée inconnue d’un point à partir de la distance entre ce point et un autre point Mathématiques

Les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont respectivement (𝐾; -2), (2; 8) et (-9; 6). Sachant que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, trouvez toutes les valeurs possibles de 𝐾.

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Transcription de vidéo

Les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont respectivement 𝐾, moins deux, deux, huit et moins neuf, six, Sachant que la longueur de 𝐴𝐵 est égale à la longueur de 𝐵𝐶, trouvez toutes les valeurs possibles de 𝐾.

Commençons par tracer un repère pour essayer de comprendre ce qui se passe. Nous ne connaissons pas l’abscisse du point A, elle est inconnue. Mais nous savons qu’il est situé à une ordonnée de moins deux. Le point 𝐴 se situe donc quelque part sur cette droite. Le point 𝐵 est situé en deux, huit et le point 𝐶 en moins neuf, six. Et cette distance - la distance de 𝐵 à 𝐶 - est égale à la distance du point 𝐴 au point 𝐵.

Ce schéma est utile, mais il ne nous permet pas de trouver une réponse exacte. Nous devons pour cela utiliser la formule de la distance. Pour trouver la distance entre deux points, on calcule la racine carrée de la somme des carrés des différences entre leurs abscisses et leurs ordonnées.

Nous allons commencer par calculer la distance du point 𝐶 au point 𝐵. 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. Deux moins moins neuf égale 11 – le tout au carré donc 11 au carré - plus huit moins six égale deux, le tout au carré. Et nous devons prendre la racine carrée de cette valeur. 11 au carré égale 121 et deux au carré égale quatre.

La distance entre 𝐵 et 𝐶 est donc égale à racine carrée de 125. Nous allons maintenant utiliser cette distance une deuxième fois pour une autre paire de points. Racine carrée de 125 est égal à la distance du point 𝐴 au point 𝐵. Le point 𝐴 est en 𝐾, moins deux. Le point 𝐵 est en deux, huit. Nous pouvons utiliser le point 𝐴 pour 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 pour 𝑥 deux, 𝑦 deux.

En remplaçant ces coordonnées dans notre équation, on obtient deux moins 𝐾 au carré plus huit moins moins deux au carré. Deux moins 𝐾 au carré ne peut pas encore être simplifié. Mais on peut simplifier huit moins moins deux par 10 au carré. Remarquez que l’on calcule la racine carrée des deux membres de l’équation. On peut donc mettre les deux membres de cette équation au carré.

Racine carrée de 125 au carré égale 125. Et à droite, on a deux moins 𝐾 au carré plus 10 au carré. 10 au carré égale 100. On soustrait alors 100 aux deux membres de l’équation. 125 moins 100 égale 25. Et à droite, il reste deux moins 𝐾 au carré. Pour éliminer ce carré, on prend la racine carrée des deux membres de l’équation.

Et nous devons vraiment faire attention à ce stade. La racine carrée de 25 est cinq. Mais c’est également moins cinq. On obtient donc plus ou moins cinq égale deux moins 𝐾. Nous devons alors décomposer cette équation en deux équations : deux moins 𝐾 égale cinq et deux moins 𝐾 égale moins cinq.

Pour l’équation de gauche, on soustrait deux aux deux membres. Ce qui donne moins 𝐾 égale trois. Mais nous ne recherchons pas la valeur de moins 𝐾. Ce que nous voulons est plus 𝐾. On multiplie donc les deux membres par moins un. Donc 𝐾 égale moins trois.

On fait de même avec l’équation de droite, en soustrayant deux aux deux membres. Moins 𝐾 égale moins sept. Mais nous recherchons plus K. Donc on multiplie par moins un. Et on obtient 𝐾 égale sept.

Pour 𝐾 égal à moins trois, la longueur du segment 𝐴𝐵 est égale à racine carrée de 125. Le point 𝐴 peut être situé en sept, moins deux ou en moins trois, moins deux.

Les valeurs possibles de 𝐾 telles que les longueurs 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont égales sont par conséquent moins trois et sept.

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