Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution de l’équation 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins deux égale neuf 𝑥 plus huit au millième près.
Avant de pouvoir commencer à résoudre une équation comme celle-ci, nous voulons la réarranger et la mettre sous forme développée. La forme développée est 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Nous pouvons le faire en soustrayant neuf 𝑥 des deux membres de l’équation. Huit 𝑥 moins neuf 𝑥 égale moins 17𝑥. Nous allons également soustraire huit des deux membres de l’équation. Moins deux moins huit égale moins 10. Et nous avons tout enlevé du membre de droite de l’équation pour qu’il soit égal à zéro. Cette équation est maintenant sous forme développée. 𝑎 est égal à un. Le coefficient de 𝑥 au carré est un. 𝑏 est égal à moins 17. Et 𝑐 est égal à moins 10. Nous ne pourrons pas factoriser cette équation. Et je veux vous montrer comment je sais que la factorisation n’est pas une option ici.
Lorsque nous factorisons, nous recherchons deux valeurs qui se multiplient pour être égales à moins 10 et lorsqu’elles sont additionnées elles sont égales à moins 17. Maintenant ces valeurs peuvent exister, mais elles vont être des fractions et très difficiles à trouver. Nous ne pouvons pas les résoudre en utilisant des facteurs de 10, comme un et 10 ou deux et cinq. Puisque nous ne pouvons pas résoudre par factorisation, une autre démarche consiste à utiliser la formule des racines du polynôme du second degré. Lorsque nous avons une équation sous forme développée, nous pouvons utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour résoudre et trouver l’ensemble solution. La formule des racines du polynôme du second degré ressemble à ceci, moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout sur deux 𝑎.
Maintenant nous venons d’insérer ce que nous savons pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐. L’opposé de moins 17 plus ou moins la racine carrée de moins 17 au carré moins quatre fois un, car 𝑎 est égal à un, fois moins 10 — 𝑐 est égal à moins 10 — le tout sur deux fois un. Nous pouvons simplifier ceci un peu. L’opposé de moins 17 est égal à plus 17, plus ou moins la racine carrée, moins 17 au carré est égal à 289. Et puis nous avons moins quatre fois moins 10 fois un, ce qui finit par être plus 40. Le tout sur deux fois un, ce qui équivaut à deux. Nous pouvons additionner 289 et 40 pour obtenir 329. Et c’est la forme simplifiée, 17 plus ou moins la racine carrée de 329 sur deux.
Et à partir de là, nous aurions besoin d’une calculatrice pour résoudre. Et nous aurions besoin de la décomposer en deux équations. Nous devons connaître 17 plus la racine carrée de 329 divisée par deux. Et nous devons également connaître 17 moins la racine carrée de 329 divisée par deux. Le premier résultat de ma calculatrice donne 17,56917. Et le deuxième résultat donne un résultat de moins 0,56917.
Nous voulons arrondir ces valeurs au millième près. Nous regardons la troisième décimale. Dans les deux cas, il y a un neuf. Et le chiffre à droite, la quatrième décimale, est notre chiffre décisif. Il nous dira comment arrondir. Parce que dans ces deux cas, le chiffre décisif est inférieur à cinq, nous arrondirons vers le bas. 𝑥 est égal à 17,569 et 𝑥 est égal à moins 0,569. Lorsque nous l’écrivons sous forme d’ensemble de solutions, nous avons les accolades 17,569 virgule moins 0,569 puis les accolades.
Je veux vous montrer une autre façon de résoudre ce problème. Et cela fonctionnera si vous ne vous souvenez pas de la formule des racines du polynôme du second degré. Pour cette forme, nous aurons encore besoin de la forme développée, 𝑥 au carré moins 17𝑥 moins 10. Et puis nous allons compléter le carré. Nous déplaçons cette valeur 𝑐 à l’autre membre de l’équation en l’ajoutant aux deux membres. Nous avons alors 𝑥 au carré moins 17𝑥 égal à 10. Et je veux ajouter 𝑏 sur deux au carré aux deux membres de l’équation. Cette valeur médiane est 𝑏. Moins 17 divisé par deux au carré est ce que nous voulons ajouter aux deux membres. Moins 17 sur deux au carré est ajouté aux deux membres. À gauche, nous avons maintenant un carré. Nous avons 𝑥 moins 17 sur deux au carré est égal à 10 plus moins 17 sur deux au carré.
Distribuons cette valeur au carré, ce qui signifie que nous avons 10 plus moins 17 au carré divisé par deux au carré, divisé par quatre. Maintenant, si nous voulions ajouter 10 à ce moins 17 au carré sur quatre, nous aurions besoin d’écrire 10 comme une fraction sur quatre. 10 est égal à 40 divisé par quatre. Nous avons maintenant 40 plus moins 17 au carré. Et moins 17 au carré est égal à 289. Et tout cela est divisé par quatre. Faites descendre le membre gauche de l’équation. Et, heureusement, vous commencez à voir apparaître ce modèle vraiment cool. 40 plus 289 est ce qui est sous le radical dans la formule du second degré. D’un côté, nous divisons par quatre. Et de l’autre côté, nous divisons par deux. Alors observons cela.
Pour obtenir 𝑥 par lui-même, nous devrons prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. Nous pouvons réécrire la racine carrée de 40 plus 289 sur quatre comme la racine carrée de 40 plus 289 sur la racine carrée de quatre. 40 plus 289 égal 329. Et la racine carrée de quatre est égale à deux. À ce stade, nous ajoutons 17 sur deux aux deux membres de l’équation. Nous devons savoir que la racine carrée de 329 a une solution à la fois positive et négative. Les deux 17 sur deux et la racine carrée de 329 sur deux ont le même dénominateur de deux.
Et nous venons de constater que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de 329 sur deux. Et c’est parce que la formule des racines du polynôme du second degré est une application de la méthode de complétion des carrés. Donc les deux méthodes fonctionnent. D’une certaine manière, vous pourriez considérer la formule des racines du polynôme du second degré comme une méthode rapide pour compléter le carré. Et les deux méthodes ont la réponse finale d’un ensemble de solutions de 17,569 et moins 0,569.
