Vidéo question :: Déterminer la mesure d’un angle connaissant la mesure d’un arc en utilisant les propriétés des tangentes au cercle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez 𝑥.

Regardons la figure qui nous a été donnée. Il y a un cercle, puis deux droites 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 qui sont toutes les deux tangentes au cercle car elles coupent chacune le cercle en un seul endroit. Ces deux tangentes se croisent en un point extérieur au cercle, le point 𝐴. Et on nous dit que la mesure de l’angle formé par leur intersection est 𝑥. L’autre information qui nous est donnée dans la figure est la mesure de l’arc mineur 𝐵𝐶. C’est l’arc mineur intercepté par ces deux tangentes.

Afin de calculer la valeur de 𝑥, nous devons rappeler le théorème sur les angles des tangentes qui se coupent. Il indique que la mesure de l’angle formé par l’intersection de deux tangentes à l’extérieur d’un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés. Nous avons déjà dit que l’arc mineur intercepté par ces deux tangentes est l’arc 𝐵𝐶, dont on nous a donné la mesure. L’arc majeur intercepté par ces deux tangentes est l’arc majeur 𝐵𝐶. Et afin de faire la distinction entre ces deux arcs, nous pouvons placer un point 𝐷 n’importe où sur l’arc majeur. Pour obtenir une différence positive, nous devons soustraire la mesure de l’arc mineur de la mesure de l’arc majeur. Nous avons donc que 𝑥 est égal à la moitié de la mesure de l’arc 𝐵𝐷𝐶 moins la mesure de l’arc 𝐵𝐶.

On nous donne la mesure de l’arc 𝐵𝐶, mais qu’en est-il de l’arc 𝐵𝐷𝐶? Nous pouvons répondre à cette question en nous rappelant que la mesure d’un cercle complet est de 360 degrés et que la somme des mesures des arcs majeurs et mineurs doit être égale cette valeur. En soustrayant 151 degrés de 360 degrés, nous trouvons donc que la mesure de l’arc majeur 𝐵𝐷𝐶 est de 209 degrés. Nous avons alors que 𝑥 est égal à la moitié de 209 degrés moins 151 degrés. C’est un demi multiplié par 58 degrés, ce qui fait 29 degrés. Ainsi, en rappelant le théorème sur les angles des tangentes qui se coupent, nous avons trouvé que la valeur de 𝑥, qui est la mesure de l’angle formé par l’intersection de deux tangentes à l’extérieur d’un cercle, est de 29 degrés.