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Vidéo de question : La relation entre le coefficient d’une équation du second degré et ses racines Mathématiques

On sait que −1 et −6 sont les deux solutions de l’équation 𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, calculez 𝑏 et 𝑐.

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Transcription de vidéo

On sait que moins un et moins six sont les deux solutions de l’équation 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, calculez 𝑏 et 𝑐.

Donc la première chose que nous pouvons remarquer dans notre question est que nous examinons une équation du second degré. C’est parce que c’est sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. On nous a également donné nos deux solutions ou deux racines, et elles sont moins un et moins six. Donc par conséquent, à partir de ces informations, nous pouvons écrire notre équation du second degré sous forme factorisée. Et ça va être 𝑥 plus un multiplié par 𝑥 plus six est égal à zéro. Mais vous pourriez penser, eh bien, comment savons-nous que c’est la forme factorisée ? Eh bien, si nous avons une équation du second degré et qu’elle est écrite sous forme factorisée, alors les solutions sont les valeurs de 𝑥 qui rendront chacune de nos parenthèses égale à zéro.

Donc, si nous regardons les parenthèses de droite, nous pouvons voir que si 𝑥 était égal à moins six, nous aurions moins six plus six, et ce serait égal à zéro. De même, sur le membre de gauche, si nous avions la valeur de 𝑥 qui était moins un, alors nous aurions moins un plus un, qui serait égal à zéro. D’accord, super ! Nous l’avons donc maintenant sous forme factorisée. Que devons-nous faire si nous voulons déterminer quelle est notre équation sous la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro ? J’ai mentionné plus tôt que c’était 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro est la forme générale. Et nous examinons une équation du second degré de cette façon.

Cependant, nous n’avons pas besoin de nous inquiéter du 𝑎 car nous savons déjà dans cette question que c’est un parce que c’est un seul 𝑥 au carré. Eh bien, ce que nous allons faire maintenant c’est que nous allons distribuer à travers nos parenthèses pour savoir quelle est notre équation du second degré. Et pour ce faire, il faut multiplier chaque terme dans les parenthèses de gauche par chaque terme dans les parenthèses de droite. Donc tout d’abord, nous avons 𝑥 multiplié par 𝑥, qui est 𝑥 au carré. Ensuite nous avons ce 𝑥 multiplié par plus six, ce qui va nous donner plus six 𝑥. Nous avons donc maintenant 𝑥 au carré plus six 𝑥. Voilà donc 𝑥 multiplié par les deux termes entre les parenthèses de droite.

Maintenant nous allons regarder le plus un entre les parenthèses de gauche. Ensuite, nous avons plus un multiplié par 𝑥, ce qui va nous donner plus 𝑥. Et finalement, nous avons plus six, et c’est parce que nous avions un multiplié par six. Puis tout cela est égal à zéro. D’accord, super ! Avons-nous terminé ici ? Eh bien, non car il y a une dernière chose que nous pouvons faire pour simplifier, c’est de regrouper nos termes similaires. Nous pouvons voir ici que nous avons six 𝑥 plus 𝑥. Alors maintenant, si nous regroupons nos termes similaires, ce que nous avons est 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus six est égal à zéro.

Alors, on a fini là ? Eh bien, non parce que ce que nous devons faire est d’identifier quelles sont les valeurs de 𝑏 et 𝑐. Donc ce que nous avons est que 𝑏 est égal à sept et 𝑐 est égal à six, en nous assurant que nous sommes prudents ici avec les signes, mais ils sont tous les deux positifs, donc ça va. Nous pouvons donc dire qu’étant donné que moins un et moins six sont les solutions de l’équation 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, alors les valeurs de 𝑏 et 𝑐, comme nous l’avons dit, sont respectivement sept et six.

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