Transcription de la vidéo
La figure ci-dessous montre un prisme rectangulaire, dont l'aire du patron vaut 580. Déterminez la valeur de 𝑥.
On nous donne un prisme rectangulaire ou un parallélépipède, et on nous indique l'aire de son patron. Imaginons à quoi ressemblerait son patron. Un parallélépipède possède six faces composées de trois paires de faces identiques. Les faces de devant et de derrière sont des rectangles dont les dimensions sont de 𝑥 unités et de trois unités. Les deux faces des deux côtés du parallélépipède sont également des rectangles, cette fois-ci de dimensions deux 𝑥 et trois unités. Enfin, la face d’en haut et la base du parallélépipède sont deux rectangles, cette fois de dimensions 𝑥 et deux 𝑥 unités.
On peut dessiner le patron du parallélépipède, et cela ressemble à quelque chose comme ça. On nous a dit que l'aire du patron est 580, il faut donc trouver une expression pour l'aire du patron en fonction de 𝑥. Les rectangles orange auront chacun une aire de trois fois 𝑥. Cela représente trois 𝑥 unités carrées. Les rectangles roses auront chacun une aire de trois fois deux 𝑥. Cela représente six 𝑥 unités carrées. Et les rectangles verts auront chacun une surface de 𝑥 fois deux 𝑥. Cela fait deux 𝑥 au carré unités carrées. On peut maintenant former une équation, la somme de ces aires est égale à 580.
On obtient donc deux fois deux 𝑥 au carré plus deux fois six 𝑥 plus deux fois trois 𝑥 égale 580. On peut maintenant simplifier notre équation en divisant chaque terme par deux. On obtient alors deux 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus trois 𝑥 égale 290. La prochaine étape de la simplification consiste à rassembler les termes similaires du côté gauche de l'équation, ce qui donne deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 égale 290.
L'étape finale consiste à soustraire 290 de chaque côté de l'équation afin que tous les termes soient rassemblés à gauche. On a alors deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins 290 égale zéro. Nous avons trouvé une équation du second degré en 𝑥. Et il nous faut résoudre cette équation. Pour ce faire, il y a plusieurs façons. On peut vérifier si l'équation peut être résolue en la factorisant, on peut appliquer la formule pour la résolution d’une équation du second degré ou on peut essayer de compléter le carré.
Généralement, si on peut résoudre une équation quadratique en la factorisant, c'est la méthode la plus efficace. On cherche deux termes linéaires, chacun étant une expression en 𝑥, qui se multiplient pour donner l'équation du second degré originale. Comme le coefficient de 𝑥 au carré dans cette équation est deux, qui est un nombre premier, on sait que le premier terme de l'une des parenthèses doit être deux 𝑥 et que le premier terme de l'autre parenthèse doit être 𝑥 car deux 𝑥 fois 𝑥 donne deux 𝑥 au carré.
Pour compléter les parenthèses, on cherche alors deux valeurs dont le produit est égal au terme constant de l'équation, soit moins 290. On peut déterminer les possibilités de ces nombres en listant les paires de facteurs possibles de 290, qui sont un et 290, deux et 145, cinq et 58, et 10 et 29. N'oubliez pas, cependant, que nous voulons que le produit soit moins 290, ce qui veut dire que les nombres doivent avoir des signes différents ; l'un doit être positif et l'autre négatif.
Peu importe le couple de facteurs utilisée, il faut s'assurer que lorsque nous développons les parenthèses, le coefficient de 𝑥 est le même que le coefficient de 𝑥 de l'équation d'origine, qui était neuf. On peut utiliser des tâtonnements pour déterminer le couple de facteurs dont on a besoin. Supposons, par exemple, que nous choisissions d'abord les facteurs 58 et cinq. On met plus 58 dans la première paire de parenthèses et moins cinq dans la deuxième paire de parenthèses. On sait que lorsqu'on développe, on va obtenir deux 𝑥 au carré et moins 290. Mais que dire du coefficient de 𝑥 ?
Lorsque nous multiplions deux 𝑥 par moins cinq, le coefficient sera moins 10. Et quand nous faisons 58 fois 𝑥, le coefficient ici sera 58. Le coefficient de 𝑥 sera donc moins 10 plus 58, soit 48. Et ce n'est pas ce que nous voulons.
En revanche, si on choisit les derniers facteurs et si on met moins 10 dans la deuxième parenthèse, on sait à nouveau qu'on obtiendra deux 𝑥 au carré et moins 290 lorsqu'on développera les parenthèses. Quant au coefficient de 𝑥, nous aurons 29 multiplié par un et deux multiplié par moins 10. C'est 29 moins 20, soit neuf. On a donc le bon coefficient de 𝑥. Cela nous montre que cette combinaison de facteurs et de signes est la bonne factorisation. On peut bien sûr confirmer cela en développant les parenthèses si on le souhaite.
On rappelle ensuite que si un produit est nul, alors au moins un des facteurs est nul. Nous avons donc soit deux 𝑥 plus 29 égale zéro, soit 𝑥 moins 10 égale zéro. Il s'agit d'équations linéaires en 𝑥, que nous pouvons résoudre. En ce qui concerne la première équation, on soustrait 29 de chaque côté, puis on divise par deux, ce qui donne 𝑥 égale moins 29 sur deux. On peut résoudre la deuxième équation en une seule étape en ajoutant 10 à chaque côté, ce qui donne 𝑥 égale 10.
Vous avez donc trouvé deux solutions à cette équation du second degré. Mais est-ce que les deux valeurs de 𝑥 sont possibles dans ce cas ? Si on regarde à nouveau le diagramme, on peut voir que 𝑥 représente la longueur d'un des côtés de ce parallélépipède. 𝑥 doit donc avoir une valeur positive. Cela signifie que si la valeur moins 29 sur deux est une solution valide de cette équation du second degré, il ne s'agit pas de la valeur de 𝑥 que nous recherchons dans le contexte de ce problème. En résolvant une équation du second degré, en factorisant l'équation, nous avons trouvé que la valeur de 𝑥 est 10.
