Vidéo de la leçon: Inégalité dans un triangle : comparaison de côtés Mathématiques • Deuxième préparatoire

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner l’inégalité triangulaire qui évoque une relation importante qui doit exister entre les longueurs des côtés d’un triangle.

Voilà donc ce que dit l’inégalité triangulaire. Elle dit : la somme des longueurs des deux côtés quelconques d’un triangle doit être supérieure à la longueur du troisième côté. Alors regardons ce triangle que j’ai tracé ici. Cela signifie que si je prends deux côtés, alors prenons 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶, la somme, alors je vais les additionner ensemble, donc la somme de ces deux côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 doit être supérieure, bien supérieure, à la longueur du troisième côté. Donc, elle doit être plus grande que, dans ce cas, 𝐴𝐶. Voilà donc une formulation de l’inégalité triangulaire pour ce triangle.

Mais elle indique la somme des longueurs de deux côtés quelconques, ce qui signifie que je peux aussi écrire cette inégalité en utilisant les autres paires. Donc, il doit aussi être vrai que 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶 est supérieur à 𝐵𝐶. Et troisièmement, il doit aussi être vrai que 𝐵𝐶 plus 𝐴𝐶 est supérieur à 𝐴𝐵. Ainsi, quelle que soit la paire de côtés que je choisis, la somme de ces deux côtés doit être supérieure à la longueur du troisième côté.

Maintenant, il suffit de se demander pourquoi cela est le cas, à savoir le fait que cette inégalité doit être vraie. Supposons que je vous ai demandé de construire un triangle avec des côtés de sept centimètres, quatre centimètres et deux centimètres. Maintenant, construire signifie faire cela avec précision en utilisant un équipement mathématique, tel qu’une règle et un compas. Donc, ce que vous feriez si vous tentiez de construire ce triangle. Eh bien, je commencerais par dessiner avec précision le côté de la base de sept centimètres. Puis, si vous tracez exactement ce côté de quatre centimètres, vous obtiendrez votre compas. Vous le définiriez à quatre centimètres. Vous placeriez le point à une extrémité de cette droite de sept centimètres. Et puis, vous dessineriez un arc de tous les points à quatre centimètres de ce point. Afin de construire le côté de deux centimètres, vous faites la même chose. Vous définissez votre compas sur deux centimètres, placez le point à cette extrémité, puis tracez un arc de tous les points à deux centimètres de distance.

Maintenant, vous remarquez que ces arcs ne se coupent en aucun point. Donc, si vous essayez de tracer votre triangle, vous vous retrouverez avec un espace où ces droites ne peuvent pas se rencontrer pour former le troisième coin. C’est pourquoi il est important que l’inégalité triangulaire soit vérifiée, car tout ce que vous pouvez voir, ce triangle ne fonctionnait pas, laissait un vide. Et si vous regardez les mesures de quatre, deux et sept, vous verrez que l’inégalité triangulaire ne fonctionne pas parce que j’ai quatre plus deux, qui est six, eh bien ce n’est pas supérieur à sept. Et c’est pourquoi je n’ai pas pu tracer ce triangle. Alors regardons une question à ce sujet.

La première question est la suivante : est-il possible de former un triangle avec des côtés de trois pouces, cinq pouces et sept pouces ?

Nous devons en effet vérifier si l’inégalité triangulaire est vraie pour toutes les paires de côtés différentes ici. Donc, si vous vous en souvenez, nous devons vérifier trois inégalités différentes. Alors voici la première. Si je prends le trois et le cinq, est-ce que trois plus cinq est supérieur à sept ? Et bien sûr, ça l’est. Huit est supérieur à sept. Alors ça marche. Regardons maintenant la deuxième paire. Alors prenons le cinq et le sept. La somme de ces deux côtés est-elle donc supérieure au troisième côté ? Est-ce que cinq plus sept est supérieur à trois ? Et bien sûr, 12 est supérieur à trois. Alors ça marche aussi.

Le troisième, nous devons prendre la dernière paire de côtés. Nous devons donc examiner la somme de trois et de sept. Nous demandons donc si trois plus sept est supérieur à cinq ? Et oui, 10 est supérieur à cinq. Donc, les trois inégalités de triangle sont vérifiées, ce qui signifie que la réponse à la question « est-il possible de former ce triangle ?», oui, c’est vrai. Nous avons bien sûr besoin d’élaboration pour appuyer cette réponse.

Bon, une question très similaire, est-il possible de former un triangle avec des côtés de six mètres, sept mètres et 18 mètres ?

Nous savons donc ce que nous devons faire suite à la question précédente. Nous devons vérifier si ces trois inégalités triangulaires s’appliquent. Mais juste en jetant un œil sur ces trois mesures, six mètres, sept mètres et 18 mètres, je peux déjà voir qu’il en est une qui ne fonctionnera pas. Si je regarde la somme de six et de sept, alors six plus sept est 13. Et treize n’est pas supérieur à 18. Ainsi, la somme de cette paire de côtés ne dépasse pas la longueur du troisième côté, ce qui signifie que, pour cette question, non, il n’est pas possible de former un tel triangle.

Maintenant, un point important à noter ici, lorsque la réponse était oui, nous devions vérifier toutes les trois inégalités et nous assurer que les trois étaient vraies. Quand la réponse est non, il suffit de démontrer que seulement une paire de côtés ne vérifie pas cette inégalité. Donc tant que vous pouvez trouver l’un d’entre elles qui ne fonctionne pas, il ne sera pas possible de former le triangle. Vous n’avez pas besoin de vérifier les deux autres.

D’accord, la question suivante dit : les deux côtés d’un triangle mesurent cinq centimètres et huit centimètres. Quelle est la plage de valeurs pour le troisième côté ?

Nous ne sommes donc pas invités à trouver explicitement le troisième côté. On nous demande de trouver la plage de valeurs possibles de ce troisième côté. Donc, je ne connais pas ce côté-ci, ce qui signifie que je vais commencer par allouer une lettre. Je vais donc l’appeler 𝑥. Je commence donc mon travail avec « soit la longueur du troisième côté égale à 𝑥 centimètres ». Maintenant, je dois penser à ces trois inégalités de triangle que nous avons vues précédemment. Et pour commencer, je vais penser au fait que si je prends ce troisième côté 𝑥 et le côté de cinq centimètres, la somme de ces deux parties doit être supérieure à huit centimètres.

Donc, cela me donne ma première inégalité. Et c’est que 𝑥 plus cinq doit être supérieur à huit. Maintenant, pour résoudre cette inégalité, je dois soustraire cinq des deux côtés. Et cela me dit que 𝑥 doit être supérieur à trois. Donc, voici ma première information au sujet de 𝑥. Il doit être plus grand que trois.

Maintenant, écrivons notre deuxième inégalité. Et ça va être que si je prends le troisième côté 𝑥, huit centimètres, qui doit être plus grand que cinq. Donc cela me donne que l’inégalité 𝑥 plus huit doit être supérieure à cinq. Maintenant, pour résoudre ce problème, je dois soustraire huit des deux côtés. Et cela me dit que 𝑥 doit être supérieur à moins trois. Maintenant, cela n’ajoute pas vraiment d’information supplémentaire, car 𝑥 représente une longueur. Donc, par définition, il doit s’agir d’une valeur positive, ce qui signifie qu’elle doit être supérieure à trois. Nous n’avons donc vraiment rien gagné en utilisant cette inégalité.

La troisième inégalité, je dois regarder le cinq et le huit. Et la somme de ceux-ci doit être supérieure à 𝑥. J’ai donc cinq plus huit est supérieur à 𝑥. En simplifiant, cela me dit que 13 est supérieur à 𝑥. Ou si j’écris simplement l’inégalité dans l’autre sens, alors j’ai 𝑥 inférieur à 13.

Bon, enfin, je dois rassembler toute cette information. Donc, cette inégalité moyenne, rappelez-vous, ne m’a rien dit d’utile. Mais les deux autres font. Elles me disent, dans un cas, que 𝑥 est supérieur à trois. Et que d’autre part, cela me dit que 𝑥 est inférieur à 13. Donc, si je rassemble ces deux inégalités ensemble, cela me donne une inégalité à double face pour 𝑥. Donc, cela me dit que 𝑥 est supérieur à trois, mais inférieur à 13. Et donc, qui est la plage de valeurs possibles pour ce troisième côté du triangle.

Maintenant, juste en passant ici, si la question demandait la plus petite valeur entière de 𝑥, par exemple, elle ne serait pas trois. Ce serait quatre, car elle doit être strictement supérieure à trois. Nous examinons donc le prochain entier après trois. Donc, dans cette question, nous avons formé trois inégalités en regardant les trois paires différentes de côtés du triangle, résolu les inégalités, puis rassemblé toutes ces informations à la fin de la question, afin de déterminer la gamme de valeurs possibles pour ce troisième côté.

D’accord, la dernière question, on nous donne une figure et nous dit : étant donné que 𝑥 est un entier, donc un nombre entier, déterminez les valeurs possibles de 𝑥.

Et en regardant la figure, nous pouvons voir que tous les trois côtés sont exprimés en fonction de cette lettre 𝑥. Donc, comme dans l’exemple précédent, nous avons trois inégalités que nous devons écrire. Donc, la première, je vais prendre le côté rouge et le côté bleu et les additionner. Et quand je fais cela, l’inégalité triangulaire me dit que ça doit être plus grand que le troisième côté, le cinq 𝑥 moins trois. J’ai donc cette inégalité ici.

Maintenant, ce que je dois faire, c’est résoudre cette inégalité. Donc, si je simplifie le côté gauche, j’ai trois 𝑥 plus 𝑥 est quatre 𝑥, et moins un plus trois est deux. Donc, j’ai quatre 𝑥 plus deux est supérieur à cinq 𝑥 moins trois. La prochaine étape pour résoudre cette inégalité : je veux ajouter trois des deux côtés, ce qui me donne que quatre 𝑥 plus cinq est supérieur à cinq 𝑥. Puis finalement, soustraire quatre 𝑥 des deux côtés, ce qui me donne cinq est supérieur à 𝑥. Ou si je le fais simplement dans l’autre sens, j’ai 𝑥 est inférieur à cinq. Ce qui me donne ma première information au sujet de 𝑥. C’est que ça doit être inférieur à cinq.

Maintenant, je dois faire la même chose avec les autres paires de côtés de ce triangle. Donc, si je regarde le côté bleu et le côté vert à côté, et la somme de ces deux, alors j’ai que 𝑥 plus trois plus cinq 𝑥 moins trois doit être supérieur à ce troisième côté, ce qui est trois 𝑥 moins un. En même temps, je vais écrire ma troisième inégalité. Donc, cette troisième est où j’additionne le côté rouge et le côté vert. Et cela doit être plus grand que le côté bleu. Cela me donne donc cette troisième inégalité : trois 𝑥 moins un plus cinq 𝑥 moins trois est supérieur à 𝑥 plus trois.

Maintenant, je ne vais pas aborder la solution étape par étape de ces deux inégalités. J’ai écrit à l’écran. Donc, si vous voulez mettre la vidéo en pause et la visionner vous-même, vous le pouvez. Mais cela nous donne ces valeurs ici. 𝑥 est supérieur à moins un tiers, pour la première, ce qui ne nous donne pas vraiment de nouvelles informations, car la troisième inégalité nous dit que 𝑥 doit être supérieur à un. Donc, si 𝑥 doit être supérieur à un, il doit absolument être supérieur à moins un tiers. Et nous devons également nous assurer que la longueur de ces côtés est positive.

Ce sont donc les premières et dernières inégalités qui nous donnent le plus d’informations. 𝑥 doit être supérieur à un, mais il doit être inférieur à cinq. Je pourrais donc écrire cela comme une inégalité à double face, comme je le faisais auparavant. Mais cette question dit en fait que 𝑥 est un entier. Donc 𝑥 est un entier quelque part supérieur à un mais inférieur à cinq, ce qui signifie qu’il y a trois entiers possibles que 𝑥 pourrait être. 𝑥 pourrait être deux, trois ou quatre. Donc cela me donne ma réponse à cette question.

Donc, pour résumer, nous avons vu quelle est l’inégalité triangulaire et ce qu’elle nous dit sur la relation qui doit exister entre les trois côtés d’un triangle. Nous avons vu comment l’appliquer pour déterminer s’il est possible ou non de créer un triangle particulier, à partir de trois longueurs. Ensuite, nous avons vu comment l’appliquer à des questions plus complexes où nous devions créer et résoudre des inégalités algébriques.