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Vidéo de question : Dériver les fonctions logarithmiques à l’aide du théorème de dérivation des fonctions composées Mathématiques

Déterminez 𝑑𝑦/𝑑𝑥 sachant que 𝑦 = ln(4𝑥 + 5) ⁷.

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Transcription de vidéo

Trouvez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 sachant que 𝑦 est égal au logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq à la puissance sept.

Donc la première chose que nous cherchons à faire pour calculer la dérivée de notre fonction est de la réécrire d’une autre manière. Et nous pouvons le faire en raison de l’une des propriétés du logarithme. Et cette propriété stipule que si nous avons logarithme de base 𝑏 de 𝑥 à la puissance 𝑛, alors ceci peut être réécrit comme 𝑛 logarithme de base 𝑏 de 𝑥. Ainsi lorsque nous réécrivons notre fonction, nous obtenons en fait que 𝑦 est égal à sept logarithme népérien quatre 𝑥 plus cinq. Nous l’avons donc fait en utilisant une des propriétés du logarithme.

Alors maintenant si nous cherchons réellement à trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, nous pouvons dire que ceci va être égal à sept multiplié par 𝑑 sur 𝑑𝑥 de logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq. Ce que nous voulons donc faire maintenant c’est de calculer la dérivée notre logarithme quatre 𝑥 plus cinq. Et la façon de le faire est d’utiliser le théorème de dérivation des fonctions composées. Et le théorème de dérivation des fonctions composées énonce que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢 multiplié par 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥. Nous pouvons donc adapter ceci et l’utiliser pour résoudre notre problème.

Donc si nous cherchons à calculer la dérivée de logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq, nous pouvons en fait poser que 𝑢 va être égal à quatre 𝑥 plus cinq, qui est l’expression à l’intérieur des parenthèses, et 𝑦 va être égal à logarithme népérien de 𝑢. Donc, ce que nous allons tout d’abord faire, c’est calculer la dérivée de 𝑢. Donc c’est 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥, ce qui va nous donner quatre, parce que si nous calculons la dérivée de quatre 𝑥, nous obtenons quatre. Et si nous calculons la dérivée de plus cinq, on obtient zéro. Parfait ! 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 est égal à quatre.

Maintenant, nous allons trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢. Et pour ce faire, nous allons en fait calculer la dérivée de logarithme népérien de 𝑢. Nous allons obtenir un sur 𝑢. Et nous obtenons cela parce qu’en fait il y a une règle générale qui nous dit que si 𝑦 est égal à logarithme népérien de 𝑥, alors 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à un sur 𝑥.

Très bien ! Nous avons à présent calculer la dérivée des deux parties. Nous pouvons utiliser le théorème de dérivation des fonctions composées pour les associer. Nous allons donc obtenir que la dérivée de logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq est égale à quatre, correspondant à 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 multiplié par un sur 𝑢 qui est 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢. En remplaçant maintenant par notre valeur de , nous obtenons quatre sur quatre 𝑥 plus cinq.

Super ! Nous avons en fait calculé la dérivée de notre logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq. Il n’y a qu’une dernière étape à faire pour trouver notre 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 finale. Nous allons donc obtenir que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égale à sept multiplié par quatre sur quatre 𝑥 plus cinq. Et c’est, comme nous l’avons dit précédemment, parce que nous avons en fait calculé la dérivée de logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq. Nous pouvons donc dire que, sachant que 𝑦 est égal à logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq à la puissance sept, alors 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 28 sur quatre 𝑥 plus cinq.

Il convient de mentionner à ce stade que nous aurions pu utiliser une formule pour nous aider à calculer la dérivée de logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq. Et cette formule nous indique qu’avec 𝑦 est égal à logarithme népérien de 𝑓 𝑥, alors 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à la dérivée de 𝑓 𝑥 sur 𝑓 𝑥. Cependant, je voulais juste démontrer comment le théorème de la dérivation des fonctions composées nous permet d’obtenir ce résultat. Et nous pouvons réellement vérifier notre réponse en utilisant cela, parce que si nous regardons, notre fonction, donc notre 𝑓 𝑥, à savoir quatre 𝑥 plus cinq.

Et que nous dérivons cela, nous n’obtenons que quatre. Cela aurait donc été notre numérateur. Et puis pour le dénominateur, cela aurait juste été la fonction elle-même, qui était quatre 𝑥 plus cinq. Et comme nous pouvons le voir à l’étape précédente, juste avant la réponse finale, c’était bien la valeur que nous avions trouvée lorsque nous avons calculé la dérivée de logarithme népérien de quatre 𝑥 plus cinq en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées.

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