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Vidéo de question : Résoudre des équations comportant des valeurs absolues Mathématiques

Déterminez sous forme d’intervalle l’ensemble solution de l’équation | 𝑥 + 4 | = 𝑥 + 4.

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Transcription de vidéo

Déterminez sous forme d’intervalle l’ensemble solution de l’équation la valeur absolue ou le module de 𝑥 plus quatre égale 𝑥 plus quatre.

Dans ce problème, en fait, nous avons deux situations différentes à considérer. La raison pour laquelle nous examinons deux situations différentes à considérer est parce que nous avons la valeur absolue ou le module de 𝑥 plus quatre. Donc en fait, ce que nous examinons sont les valeurs positives de 𝑥 plus quatre. Alors tout d’abord, considérons que 𝑥 plus quatre est supérieur ou égal à zéro. Nous pouvons voir que ceci va déjà être positif, alors nous allons devoir rien faire à cela. Cependant, si 𝑥 plus quatre est strictement inférieur à zéro, alors il faudrait prendre l’opposé de cette valeur pour la rendre positive. Et c’est ce que fait réellement la fonction avec valeur absolue.

Maintenant, si nous résolvons pour nos deux inéquations, sur le membre gauche, nous aurions 𝑥 est supérieur ou égal à moins quatre. Et nous obtenons cela en soustrayant quatre de chaque membre. Et sur le membre droit, nous aurions 𝑥 est strictement inférieur à moins quatre. On peut donc dire que si la valeur de 𝑥 est strictement inférieure à moins quatre, on descend le membre de droite. Cependant, si elle est supérieure à moins quatre nous descendons le membre de gauche. Donc si nous descendons le membre de gauche, nous savons que la valeur de 𝑥 plus quatre va être positive. Nous n’avons donc pas besoin de nous inquiéter, et ce que nous pouvons écrire est 𝑥 plus quatre égale 𝑥 plus quatre. Donc ce que nous disons en fait c’est que 𝑥 plus quatre du membre gauche est égal à 𝑥 plus quatre du membre droit.

Donc nous pourrions simplement penser à ce stade, eh bien, qu’il est clair que c’est vrai pour toutes les valeurs de 𝑥. Cependant, nous devons nous rappeler de l’intervalle des valeurs de 𝑥 que nous avons identifiées. Cela dit 𝑥 doit être supérieur ou égal à moins quatre. Donc par conséquent, nous savons que pour vérifier cette équation, nous pouvons dire que 𝑥 va être toutes les valeurs de 𝑥 qui sont supérieures ou égales à moins quatre. Donc en descendant le membre de droite, nous savons que 𝑥 est strictement inférieur à moins quatre et nous savons aussi que 𝑥 plus quatre nous donne une valeur négative.

Donc par conséquent, ce que nous allons devoir faire c’est prendre l’opposé de ce négatif pour le transformer en valeur positive. Alors, ce que nous allons devoir travailler avec est moins 𝑥 plus quatre est égal à 𝑥 plus quatre. Donc nous allons obtenir moins 𝑥 moins quatre égale 𝑥 plus quatre. Donc si nous ajoutons 𝑥 aux deux membres de l’équation, nous obtenons moins quatre égale deux 𝑥 plus quatre. Et puis si nous soustrayons quatre, nous obtenons moins huit est égal à deux 𝑥. Ensuite si je divise les deux membres par deux, j’obtiens la réponse 𝑥 est égal à moins quatre.

Eh bien, nous pourrions penser que 𝑥 est égal à moins quatre ne serait pas à proprement parler correct parce que si nous regardons le membre de droite, nous avons réellement dit que 𝑥 doit être strictement inférieur à moins quatre. Cependant, en fait, si nous avions moins zéro, ce serait toujours positif, donc ce serait toujours zéro. Et nous abordons en fait cette solution dans l’inéquation 𝑥 est supérieur ou égal à moins quatre de toute façon.

Donc, on pourrait dire que la solution est 𝑥 est supérieur ou égal à moins quatre. Ou nous pouvons aussi écrire ceci aussi en notation d’intervalle. Et si nous faisions cela, nous aurions laissé un intervalle fermé à gauche moins quatre, virgule ∞, un intervalle ouvert à droite. Et cela nous dit que moins quatre peut faire partie de notre ensemble solution, alors que ∞ ne le sera pas.

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