Vidéo de la leçon: Comparer et ranger des nombres rationnels Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à comparer et à ranger des nombres rationnels sous différentes formes pour résoudre des problèmes de la vie courante. Si cette boîte est pour tous les nombres, nous pouvons les diviser en deux catégories : rationnel et irrationnel. Les nombres rationnels peuvent être écrits sous forme de fraction, et les nombres irrationnels ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction. Les entiers seraient des valeurs rationnelles. Par exemple, moins trois est un entier. Si nous écrivons moins trois sous forme de fraction, nous pourrons l’écrire comme moins trois sur un, ce qui le rend un nombre rationnel. En outre, les valeurs décimales terminales sont rationnelles. 0,25 sous forme de fraction est un quart.

Les nombres irrationnels ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction. Un exemple de ceci serait 𝜋 ou la racine carrée de deux. Nous ne traiterons pas de nombres irrationnels ici. Nous venons juste de dire que les nombres rationnels sont des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme de fraction. Alors peut-être nous devrions nous rappeler ce qu’est une fraction.

Une fraction compare une partie à un tout. Dans une fraction, le dénominateur est la valeur en dessous de la barre de fraction, et il nous indique le nombre de parts égales dans l’ensemble. Le numérateur est la valeur en haut de la barre de fraction, et il nous indique le nombre de parts que nous considérons.

Nous représentons généralement des fractions avec un diagramme en utilisant une figure, un cercle ou un rectangle. Le nombre de pièces dans lesquelles la figure est divisée représente le dénominateur. Ici, notre rectangle est divisé en cinq pièces égales, ce qui rend notre dénominateur cinq. La pièce que nous considérons est généralement colorée. Puisque deux des cinq pièces sont colorées, nous disons que cette fraction est deux cinquièmes.

Voici un exemple de diagramme de fraction sous forme circulaire. Le dénominateur est quatre, ce qui représente le nombre de parts égales dans le cercle. Et le numérateur serait trois car trois des pièces sont colorées. C’est la fraction trois quarts.

Mais que se passerait-il si ce diagramme ressemblait à ceci, à sa couleur préférée, et avait ensuite les étiquettes bleu et jaune ? Tout comme avant, le bleu représente trois quarts, ce qui signifie que le jaune représente un quart. Il est très évident ici que trois quarts est plus grand qu’un quart. Cela signifie qu’il est très facile de ranger des fractions avec le même dénominateur.

Pour comparer cinq huitièmes, un huitième et trois huitièmes, la façon dont nous rangeons ces valeurs est d’observer le numérateur. Cinq est le plus grand numérateur. Par conséquent, sur ces trois fractions, cinq huitièmes est la plus grande. Trois est le deuxième plus grand des numérateurs, ce qui rend trois huitièmes la deuxième plus grande fraction de cet ensemble.

Mais nous devons savoir qu’en est-il des dénominateurs lorsqu’ils ne sont pas les mêmes. Comparer des fractions avec des dénominateurs différents serait un peu comme ça.

Daniel a neuf pièces de monnaie et Will a trois billets. Si une personne disait : « neuf est plus grand que trois ; par conséquent, Daniel a plus d’argent », elle a commis une erreur dans la comparaison en raison des unités. Vous ne pouvez pas comparer le nombre de pièces de monnaie au nombre de billets. Vous devrez soit convertir les pièces de monnaie de Daniel en nombre de billets qu’il aurait, soit convertir le montant d’argent que Will possède en pièces de monnaie.

Lorsque nous traitons des fractions qui n’ont pas le même dénominateur, nous devrons faire la même chose. Nous devrons les convertir en une valeur que nous pouvons comparer. Prenons un exemple où nous aurions besoin de le faire.

Comparez un demi à deux huitièmes.

Ces deux valeurs n’ont pas de dénominateur commun, ce qui signifie que pour les comparer, nous devons trouver un dénominateur commun. Ces deux valeurs sont des nombres pairs. En fait, deux est un facteur de huit. Si on multiplie deux par quatre, on obtient huit. Mais il est très important lorsque nous travaillons avec des fractions si nous multiplions notre dénominateur par une valeur, nous multiplions le numérateur par cette même valeur. Un fois quatre est égal à quatre. Cela nous indique que quatre huitièmes est une fraction équivalente à un demi.

Maintenant que les deux valeurs ont un dénominateur commun, nous observons leurs numérateurs. Quatre est plus grand que deux. Quatre huitièmes est plus grand que deux huitièmes, ce qui nous indique qu’un demi est supérieur à deux huitièmes. C’était la méthode pour déterminer un dénominateur commun.

Mais nous aurions pu résoudre ce problème d’une autre méthode. Nous aurions pu convertir ces fractions en nombres décimaux. Un demi sous forme décimale est 0,5. Et nous voyons que le numérateur et le dénominateur de deux huitièmes sont divisibles par deux. Ainsi, nous pouvons dire que deux huitièmes est égal à un quart et qu’un quart écrit sous forme décimale est 0,25. Si nous comparons les deux valeurs décimales, nous verrons que 0,5 est plus grand que 0,25, puisque 0,5 a cinq à la place des dixièmes et 0,25 a deux à la place des dixièmes. Cela confirme ce que nous avons déjà dit, à savoir qu’un demi est supérieur à deux huitièmes.

Maintenant, passons à un exemple où nous comparons plus de deux valeurs.

Rangez un douzième, un dixième, un tiers et un vingtième dans l’ordre croissant.

Premièrement, nous devons savoir ce que signifie l’ordre croissant. Ce serait du plus petit au plus grand. Puis nous remarquons que nous n’avons pas de dénominateur commun. Mais les quatre valeurs ont un numérateur égal à un. Maintenant, bien sûr, nous pourrions déterminer un dénominateur commun ou convertir toutes les valeurs en nombres décimaux. Mais parce que les quatre valeurs ont le même numérateur, nous pouvons arranger ces quatre valeurs avec une méthode différente.

Imaginez que nous allons représenter ces fractions avec un diagramme circulaire. Le cercle coupé en tiers ressemblerait à ceci. Voici le même cercle coupé en 12 pièces. Le plus grand dénominateur a des parties plus petites. Un tiers est beaucoup plus grand qu’un douzième. Nous pouvons donc dire que lorsque les numérateurs sont identiques, la fraction qui a le plus grand dénominateur sera la première lorsque vous la mettez dans l’ordre croissant. Dans ce cas, nous commencerions par un vingtième comme la plus petite valeur. Puis nous passerions à un douzième suivi d’un dixième, puis d’un tiers. Nous pouvons faire ce genre de comparaison parce que les numérateurs sont les mêmes.

Vous voudrez peut-être y penser car plus vous coupez la pizza entière en morceaux, plus les morceaux deviennent petits. Ainsi, si vous avez mangé une tranche de pizza mais qu’il n’y avait que trois tranches, ce serait plus que si vous coupiez la même pizza en 10 tranches et que vous n’aviez mangé qu’une tranche. Pour cette question, dans l’ordre croissant, nous obtenons un vingtième, un douzième, un dixième, puis un tiers.

Voici un autre exemple de rangement de nombres rationnels. Cette fois, aucune des valeurs n’est donnée sous forme de fraction.

Rangez les éléments suivants dans l’ordre croissant : 0,2 ; moins 0,2 ; moins 2,3 ; neuf ; deux.

Nous savons que l’ordre croissant signifie du plus petit au plus grand. Il pourrait être utile ici pour nous de penser à ces valeurs en fonction d’une droite numérique. Nous savons que toutes les valeurs positives seront à droite de zéro et toutes les valeurs négatives seront à gauche de zéro. Lorsque nous avons affaire à des valeurs négatives, les valeurs à gauche de zéro, plus elles sont grandes, plus elles seront éloignées de zéro. Ainsi, moins 2,3 sera plus loin de zéro que moins 0,2. Nous appellerons donc moins 2,3 la plus petite valeur.

Après cela viendrait moins 0,2. À partir de là, nous devons comparer nos valeurs positives. La valeur décimale est la seule valeur inférieure à un. Ainsi, cela viendrait ensuite. Et nous savons que deux est plus petit que neuf. Ainsi, nous écrivons deux puis neuf. Dans l’ordre croissant, ces valeurs sont moins 2,3, moins 0,2, 0,2, deux et neuf.

Voici un exemple qui a des nombres fractionnaires et des valeurs décimales.

Rangez l’ensemble de nombres suivant dans l’ordre croissant : moins trois et trois dixièmes, moins 3,61 et moins 3,5.

L’ordre croissant est du plus petit au plus grand, et nous avons trois valeurs. Les trois valeurs sont négatives. Deux d’entre elles sont des nombres décimaux, et une valeur est un nombre fractionnaire. Nous avons deux choix. Nous pouvons convertir le nombre fractionnaire en un nombre décimal, ou nous pouvons convertir les deux nombres décimaux en nombres fractionnaires. Puisque deux des valeurs sont déjà sous forme décimale, allons-y et convertissons ce nombre fractionnaire en un nombre décimal.

Nous savons que moins trois restera la partie du nombre entier. Mais comment convertir trois dixièmes en un nombre décimal ? Comme il s’agit d’une fraction sur 10, c’est une méthode très simple. Nous mettons un trois à la place des dixièmes de sorte que nous avons moins 3,3. À ce stade, nous devons être très prudents car nous rangeons des valeurs négatives. Et lorsque nous rangeons des valeurs négatives, la plus petite valeur est celle qui est la plus éloignée de zéro. Et nous savons que la distance de zéro est la valeur absolue de notre nombre.

Cela signifie que moins 3,61 est à 3,61 unités de zéro vers la gauche. Et cela signifie que moins 3,5 est à 3,5 unités de zéro vers la gauche. Moins 3,5 est plus proche de zéro que moins 3,61, et moins 3,3 est le plus proche de zéro parmi les trois valeurs. Et cela signifie que pour les arranger du plus petit au plus grand, nous énumérons moins 3,61, moins 3,5 puis moins 3,3. Cependant, pour la réponse finale, il est préférable de prendre moins 3,3 et de le remettre dans le format qui nous a été donné : moins trois et trois dixièmes.

Voici un exemple avec des valeurs positives et négatives et avec des nombres fractionnaires et des fractions.

Arrangez les éléments dans l’ensemble un et deux tiers, moins un huitième, un et un neuvième et moins un demi dans l’ordre décroissant.

L’ordre décroissant est du plus grand au plus petit. Nous remarquons donc à propos de toutes ces valeurs qu’elles n’ont pas de dénominateur commun. Mais si nous considérons ces valeurs en fonction de la droite numérique, nous savons que moins un demi doit être à gauche de zéro, et un et deux tiers doivent être à droite de zéro. À ce stade, nous devrons comparer moins un demi et moins un huitième et un et un neuvième et un et deux tiers.

En commençant par les valeurs négatives, nous avons moins un demi et moins un huitième. Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur par quatre, pour moins un demi, cela devient moins quatre sur huit. Maintenant, parce que ces valeurs sont négatives, nous devons faire très attention à la façon de les comparer. Moins un huitième sera plus proche de zéro sur une droite numérique que moins quatre huitièmes. Ainsi, ils appartiennent à la droite numérique comme ceci. Si nous allons dans l’ordre décroissant, du plus grand au plus petit, moins un huitième appartiendra à la liste avant moins un demi.

Mais maintenant, nous avons besoin de comparer les deux valeurs positives. Un et un neuvième et un et deux tiers ont tous les deux la partie du nombre entier d’un. Et cela signifie que pour les comparer, nous devrons simplement comparer leurs fractions. Ces deux fractions n’ont pas de dénominateur commun. Mais si nous multiplions les deux tiers par trois au numérateur et au dénominateur, ce nombre fractionnaire devient un et six neuvièmes. Un et six neuvièmes est plus grand qu’un et un neuvième. Donc nous pouvons les placer sur notre droite numérique comme ceci. Et nous sommes prêts à les écrire par ordre décroissant.

L’ordre décroissant est du plus grand au plus petit. Nous voulons le réécrire dans la notation d’ensemble, nous allons donc ouvrir les crochets. La plus grande des valeurs est un et deux tiers, puis un et un neuvième, puis moins un huitième et moins un demi. Nous allons fermer les crochets. Et nous avons réarrangé cet ensemble dans l’ordre décroissant.

Avant de terminer la vidéo, passons en revue les points clés dont nous avons besoin pour comparer et ranger des nombres rationnels. Les nombres rationnels sont des nombres réels qui peuvent être exprimés sous forme de fractions simples, ce qui signifie que le dénominateur et le numérateur sont des entiers. Pour comparer les fractions, une méthode consiste à renommer les fractions avec des dénominateurs communs. Une autre méthode consiste à convertir toutes les valeurs en nombres décimaux. Maintenant, vous êtes prêt à en essayer par vous-même.