Vidéo question :: Résoudre des équations impliquant des conjugués Mathématiques

Transcription de la vidéo

Résolvez 𝑧𝑧 étoile plus 𝑧 étoile moins 𝑧 est égal à quatre plus deux 𝑖.

Maintenant, voyons juste ce que nous avons ici. 𝑧 et 𝑧 étoile désignent des nombres complexes. 𝑧 lui-même sera sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. 𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles. 𝑎 représente la partie réelle du nombre complexe alors que 𝑏 représente sa partie imaginaire. 𝑧 étoile est le conjugué complexe. Et c’est parfois représenté en utilisant également 𝑧 barre. Maintenant, pour trouver le conjugué complexe d’un nombre complexe, il suffit de changer le signe des parties imaginaires. Donc si 𝑧, notre nombre complexe, est 𝑎 plus 𝑏𝑖, 𝑧 étoile est 𝑎 moins 𝑏𝑖.

Et il y a quelques propriétés intéressantes d’un nombre complexe et de son conjugué. Tout d’abord, lorsque nous trouvons leur produit, nous nous retrouvons avec un nombre purement réel. Remplaçons donc 𝑧 par 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑧 étoile par 𝑎 moins 𝑏𝑖 dans notre équation complexe. Lorsque nous le faisons, nous trouvons que 𝑧𝑧 étoile est 𝑎 plus 𝑏𝑖 fois 𝑎 moins 𝑏𝑖. Puis, nous ajoutons 𝑎 moins 𝑏𝑖 et soustrayons 𝑧, qui est 𝑎 plus 𝑏𝑖. Et bien sûr, tout cela équivaut à quatre plus deux 𝑖.

Distribuons certaines de nos parenthèses. Nous allons commencer ici en multipliant le premier terme de chaque expression. C’est 𝑎 fois 𝑎, ce qui est égal à 𝑎 au carré. Nous allons multiplier le terme extérieur dans chaque expression. Cela nous donne moins 𝑎𝑏𝑖. Nous allons ensuite multiplier les termes intérieurs pour obtenir 𝑎𝑏𝑖. Et enfin, nous allons multiplier le dernier terme. Cela nous donne moins 𝑏𝑖 le tout au carré ou moins 𝑏 au carré 𝑖 au carré plus 𝑎 moins 𝑏𝑖 qui reste le même. Puis, nous soustrayons ce troisième terme, cette troisième expression 𝑎 plus 𝑏𝑖. Nous obtenons donc moins 𝑎 moins 𝑏𝑖.

Voyons si nous pouvons améliorer ceci un peu. Nous pouvons voir que 𝑎 moins 𝑎 est zéro. Donc ils s’annulent. De même, moins 𝑎𝑏𝑖 plus 𝑎𝑏𝑖 vaut zéro. Nous rappelons ensuite que 𝑖 au carré est égal à moins un. Nous utilisons donc ceci. Et nous écrivons moins 𝑏 au carré 𝑖 au carré comme moins moins un 𝑏 au carré. De même, nous pouvons regrouper les termes similaires. Et nous avons moins deux 𝑏𝑖 ici. En simplifiant un peu plus, nous trouvons que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré moins deux 𝑏𝑖 est égal à quatre plus deux 𝑖.

Maintenant, cette partie est vraiment importante. Nous avons essentiellement deux nombres complexes. Sur le membre gauche, la partie réelle du nombre complexe est simplement 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré alors que sa partie imaginaire, rappelez-vous, c’est le coefficient de 𝑖, est moins deux 𝑏. Sur le membre droit, la partie réelle de notre nombre complexe est quatre. Et sa partie imaginaire est deux. Donc, pour que les nombres complexes de chaque membre de notre équation soient égaux, leurs parties réelles doivent être égales. Et leurs parties imaginaires doivent être séparément égales. Autrement dit, 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré doit être égal à quatre. Et moins deux 𝑏 doit être égal à deux.

Eh bien, nous pouvons maintenant résoudre cette deuxième équation. Nous allons diviser par moins deux. Et quand nous le faisons, nous constatons que 𝑏 est égal à moins un. Remplaçons cela dans notre première équation. Lorsque nous le faisons, nous trouvons 𝑎 au carré plus moins un au carré égale quatre. Eh bien, moins un au carré est simplement un.

Nous allons soustraire un des deux membres de cette équation pour trouver que 𝑎 au carré est égal à trois. Ensuite, on met au carré les deux membres, en nous souvenant que nous allons devoir prendre à la fois la racine carrée positive et négative de trois. Et nous trouvons que 𝑎 est la racine positive ou négative de trois. Maintenant, si nous revenons à notre équation d’origine, nous avons dit que 𝑧 était égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖. Eh bien, 𝑎 est la racine positive ou négative de trois. Et 𝑏 est moins un.

Ceci signifie donc que les deux solutions de notre équation sont 𝑧 est égal à la racine trois moins 𝑖 ou 𝑧 est égal à la racine négative de trois moins 𝑖.