Vidéo question :: Déterminer la longueur d’un segment en utilisant les propriétés des cordes Mathématiques

Transcription de la vidéo

Les points 𝑋 et 𝑌 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, et le point 𝑀 est le centre du cercle. Si 𝐴𝐵 est égal à 60, que vaut 𝐶𝑌 ?

Nous pouvons commencer par souligner qu’on nous dit que 𝑋 et 𝑌 sont les points médians des segments 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, respectivement. Les segments 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont en fait des cordes du cercle car dans chaque segment, les extrémités se situent toutes deux sur le cercle. Le point 𝑀 est le centre du cercle.

Maintenant, considérons que puisque 𝑋 et 𝑌 sont les milieux des cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, alors nous pouvons dire qu’ils ont été coupés en deux par les points 𝑋 et 𝑌. Puisque les segments 𝑋𝑀 et 𝑌𝑀 passent par le centre 𝑀, nous rappelons donc que cela signifie que 𝑋𝑀 et 𝑌𝑀 sont tous deux des médiatrices des cordes respectives 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. D’après les marquages sur la figure, nous pouvons observer que les segments 𝑋𝑀 et 𝑌𝑀 sont désignés comme égaux. Cela signifie que la distance entre le centre 𝑀 et la corde 𝐴𝐵 est la même que la distance entre 𝑀 et la corde 𝐶𝐷. On peut alors dire que les cordes sont équidistantes du centre.

Voyons un instant pourquoi ces distances doivent être la distance perpendiculaire de la corde au centre, en prenant un cercle différent de centre 𝑃. Ce n’est pas parce que nous pouvons dessiner deux cordes et deux segments égaux de chaque corde jusqu’au centre que les cordes sont équidistantes. Par exemple, ces deux cordes roses ne sont clairement pas équidistantes du centre. Nous devons utiliser la distance perpendiculaire des cordes au centre pour conclure si les cordes sont équidistantes ou non. Et nous avons déjà démontré que dans le cercle de centre 𝑀, nous avons deux segments perpendiculaires.

On peut alors rappeler le théorème des cordes équidistantes. Ce théorème nous dit que si deux cordes dans le même cercle sont équidistantes du centre du cercle, alors leurs longueurs sont égales. Donc, comme les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont équidistantes du centre 𝑀, alors nous pouvons écrire que 𝐴𝐵 est égal à 𝐶𝐷. On nous donne que 𝐴𝐵 est égal à 60, ou 60 unités de longueur. Par conséquent, nous savons que 𝐶𝐷 doit également être de 60 unités de longueur. Nous devons trouver la longueur de 𝐶𝑌, mais nous savons que 𝑌 est le milieu de 𝐶𝐷. Et cela signifie que la longueur de 𝐶𝑌 doit être la moitié de 60, ce qui est 30.

Nous pouvons donc donner la réponse que 𝐶𝑌 est 30, et si nous devions donner des unités, ce seraient des unités de longueur.