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Vidéo de question : Rechercher et évaluer la dérivée première de fonctions polynomiales à l’aide de la règle de dérivation en chaîne et de la règle du produit Mathématiques

Trouvez la dérivée première de la fonction 𝑦 = 𝑥⁴ (4𝑥 + 9) ⁹ en 𝑥 = -2.

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Transcription de vidéo

Trouvez la dérivée première de la fonction 𝑦 égal 𝑥 puissance quatre multiplié par quatre 𝑥 plus neuf puissance neuf en 𝑥 égale moins deux.

Bien, la première chose que nous devons faire pour résoudre ce problème est de dériver notre fonction. Nous pouvons voir que notre fonction est sous la forme 𝑦 égale 𝑢𝑣. Nous allons donc utiliser la règle du produit pour nous aider à la dériver. La règle du produit dit que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑢 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥 plus 𝑣 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥.

Tout d’abord, choisissons ce que vont être notre 𝑢 et notre 𝑣. Notre 𝑢 va être 𝑥 puissance quatre et notre 𝑣 va être quatre 𝑥 plus neuf puissance neuf. Maintenant, ce que nous voulons faire est de déterminer 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 et 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥. Ainsi, nous allons commencer par 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥, qui va être égal à quatre 𝑥 au cube. Cela, bien sûr, parce que nous avons dérivé notre 𝑥 puissance quatre.

Juste pour nous rappeler comment nous avons réellement fait cela, nous avons en fait multiplié le coefficient de notre terme par l’exposant – donc quatre multiplié par un. Puis, ce que nous avons fait, c’est que nous avons soustrait un de notre exposant – donc quatre moins un. Ainsi, cela nous a donné quatre 𝑥 puissance trois.

Très bien, alors maintenant passons à autre chose et dérivons 𝑣 pour trouver 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥. Bien, maintenant pour trouver 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥, ce que nous devons faire, c’est utiliser une règle pour nous aider à dériver quatre 𝑥 plus neuf puissance neuf. La règle que nous allons utiliser est la règle de dérivation en chaîne. La règle de dérivation en chaîne nous dit en fait que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢 multiplié par 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥.

Bien, alors maintenant que nous avons cette règle, regardons notre terme et voyons si nous pouvons l’appliquer. Tout d’abord, nous allons considérer 𝑢 et dire qu’il est égal à quatre 𝑥 plus neuf. Ainsi, 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 va être simplement quatre parce que si vous dérivez quatre 𝑥, vous obtenez quatre et si vous dérivez neuf, vous obtenez juste zéro.

Bien, nous pouvons maintenant passer à 𝑦. 𝑦 est égal à 𝑢 puissance neuf. Ainsi, 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢 est égal à neuf 𝑢 puissance huit. Donc, si nous appliquons la règle de dérivation en chaîne, nous pouvons dire que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à quatre multiplié par neuf 𝑢 puissance huit, ce qui est égal à 36𝑢 puissance huit. Ensuite nous remplaçons simplement 𝑢 par quatre 𝑥 plus neuf et nous obtenons que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 36 multiplié par quatre 𝑥 plus neuf puissance huit. Ainsi, nous pouvons dire que 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥 est égal à 36 multiplié par quatre 𝑥 plus neuf puissance huit.

Maintenant que nous avons trouvé notre 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥 et notre 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥, ce que nous pouvons réellement faire, c’est appliquer notre règle du produit pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. C’est-à-dire la dérivée première de notre fonction 𝑥 puissance quatre multiplié par quatre 𝑥 plus neuf puissance neuf. Ainsi, nous obtenons 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑥 puissance quatre car c’est notre 𝑢 multiplié par notre 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥 qui est 36 multiplié par quatre 𝑥 plus neuf puissance huit plus notre 𝑣 qui est quatre 𝑥 plus neuf puissance neuf multiplié par notre 𝑑𝑢 𝑑𝑥 qui est quatre 𝑥 au cube.

Très bien, nous sommes maintenant au stade où nous avons trouvé la dérivée première de notre fonction. Mais que faisons-nous maintenant ? Ce que nous devons faire maintenant, c’est calculer ce que vaut la dérivée première lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Pour ce faire, nous devons remplacer 𝑥 par moins deux dans notre dérivée première.

Nous allons donc obtenir que la dérivée première avec 𝑥 remplacé par moins deux égale moins deux puissance quatre multiplié par 36 fois quatre fois moins deux plus neuf puissance huit plus quatre multiplié par moins deux plus neuf puissance neuf multiplié par quatre multiplié par moins deux au cube, ce qui va être égal à 16 multiplié par 36 plus quatre multiplié par moins huit, ce qui est égal à 544.

Nous pouvons donc dire que la dérivée première de la fonction 𝑦 égale 𝑥 puissance quatre multipliée par quatre 𝑥 plus neuf puissance neuf en 𝑥 égale moins deux est égale à 544.

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