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Vidéo de question : Déterminer la forme polaire d'un vecteur Mathématiques

Complétez ce qui suit : Si la décomposition de 𝐎𝐀 en vecteurs unitaires est 2𝐢 + 2𝐣, alors les coordonnées polaires du vecteur 𝐀𝐎 sont _.

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Transcription de vidéo

Complétez ce qui suit : Si la décomposition du vecteur 𝐎𝐀 en vecteurs unitaires est deux 𝐢 plus deux 𝐣, alors les coordonnées polaires du vecteur 𝐀𝐎 sont...

Il faut d'abord noter que le vecteur dont nous cherchons à trouver les coordonnées polaires n'est pas le vecteur donné sous forme vectorielle. On nous a donné le vecteur 𝐎𝐀 et nous cherchons le vecteur 𝐀𝐎. Avant de trouver la forme polaire du vecteur 𝐀𝐎, il faut d'abord l'écrire sous forme vectorielle. Le vecteur 𝐀𝐎 peut être vu comme l'opposé du vecteur 𝐎𝐀. Il aura la même norme, mais un sens opposé. Si le vecteur 𝐎𝐀 correspond à deux 𝐢 plus deux 𝐣, alors le vecteur 𝐀𝐎 sera égal à moins deux 𝐢 plus moins deux 𝐣, ce qui revient à moins deux 𝐢 moins deux 𝐣.

Il nous faut maintenant exprimer cela sous forme polaire. La forme vectorielle exprime 𝐀𝐎 en termes de déplacements dans les directions 𝑥 et 𝑦, mais la forme polaire l'exprime en termes de norme 𝑟 et d'angle 𝜃 du vecteur. Dessinons une figure pour représenter le vecteur 𝐀𝐎. Le vecteur moins deux 𝐢 moins deux 𝐣 représente un déplacement de moins deux dans le sens des 𝑥 et de moins deux dans le sens des 𝑦. Si nous positionnons le vecteur pour qu'il parte de l'origine, nous voyons qu'il se trouve dans le troisième quadrant. La longueur de ce vecteur est donnée par 𝑟 et l'angle 𝜃 est mesuré dans le trigonométrique à partir de l'axe des 𝑥 positifs.

Nous pouvons calculer la valeur de 𝑟 en utilisant le théorème de Pythagore, elle sera égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. La tangente de l'angle 𝜃 peut être représentée comme 𝑦 sur 𝑥. Nous voyons pour le vecteur 𝐀𝐎 que la variation en 𝑥 est de moins deux et que la variation en 𝑦 est également de moins deux. Pour calculer la norme du vecteur, nous devons calculer la racine carrée de moins deux au carré plus moins deux au carré. Cela donne la racine carrée de quatre plus quatre, ce qui donne deux racine de deux.

Maintenant, tangente 𝜃 est égal à la valeur 𝑦 sur la valeur 𝑥, soit moins deux sur moins deux, ce qui donne un. Il faut donc trouver la valeur de la tangente réciproque de un pour déterminer la valeur de 𝜃. Notre calculatrice donne comme résultat : 𝜃 est égal à 45 degrés. Cependant, si nous regardons notre dessin, nous savons que ce n'est pas correct ; 𝜃 est bien plus grand que 45 degrés.

La calculatrice nous a en fait donné la mesure de l'angle aigu entre notre vecteur et l'axe des 𝑥, marquée ici en vert. Or, il se trouve que la valeur de la tangente de cet angle est la même. Ainsi, il faut ajouter ces 180 degrés supplémentaires pour trouver la vraie valeur de 𝜃 comme mesure de l'angle dans le sens trigonométrique entre l'axe des 𝑥 positifs et notre vecteur 𝐀𝐎. Cela nous donne 225 degrés.

Il convient toujours de dessiner le vecteur en partant de l'origine sur un repère, comme nous l'avons fait, avant de déterminer l'angle pour la forme polaire, afin de s'assurer que nous tenons correctement compte du quadrant dans lequel il se trouve. La réponse à la question est donc : sous sa forme polaire, le vecteur 𝐀𝐎 a une norme de deux racine de deux et un angle de 225 degrés.

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