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Vidéo de question : Déterminer une matrice inconnue dans une équation matricielle Mathématiques

Déterminez la matrice 𝐴 telle que 𝐴 [𝑥₁ et 𝑥₂ et 𝑥₃ et 𝑥₄] = [𝑥₁ + 3𝑥₂ + 2𝑥₃ et 2𝑥₃ + 𝑥₁ et 6𝑥₃ et 𝑥₄ + 3𝑥₂ + 𝑥₁].

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Transcription de vidéo

Déterminez la matrice 𝐴 telle que 𝐴 fois la matrice colonne avec les éléments 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑥 trois et 𝑥 quatre est égale à la matrice colonne avec les éléments 𝑥 un plus trois 𝑥 deux plus deux 𝑥 trois, deux 𝑥 trois plus 𝑥 un, six 𝑥 trois et 𝑥 quatre plus trois 𝑥 deux plus 𝑥 un.

On nous demande de trouver la matrice 𝐴 qui lorsqu’elle est multipliée par une matrice colonne à gauche, est égale à la matrice colonne à droite. La première chose que nous pouvons faire est de déterminer la dimension de la matrice 𝐴. C’est le nombre de colonnes et de lignes. Et nous pouvons utiliser la définition de la multiplication matricielle pour nous aider ici. Elle indique que pour les matrices 𝐴 et 𝐵, la multiplication matricielle est bien définie si 𝐴 a pour dimension 𝑚 par 𝑛 et 𝐵 a pour dimension 𝑛 par 𝑝, de sorte que le produit 𝐴𝐵, que nous appellerons 𝐶, a pour dimension 𝑚 par 𝑝.

Dans notre cas, si nous laissons la matrice colonne avec les éléments 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑥 trois et 𝑥 quatre égal à 𝐵 et la matrice colonne au membre de droite est la matrice 𝐶, et bien que nous ne connaissons pas la dimension de la matrice 𝐴, nous savons que 𝐵 a pour dimension quatre par un et 𝐶 a pour dimension quatre par un. Autrement dit, les deux ont quatre lignes et une colonne, de sorte que 𝑛 est quatre, 𝑝 est un et 𝑚 est quatre. Et puisque notre matrice 𝐴 doit avoir pour dimension 𝑚 par 𝑛, elle a la dimension quatre par quatre ; c’est-à-dire que, 𝐴 est une matrice de dimension quatre par quatre. Elle comporte quatre lignes et quatre colonnes.

Donc en libérant de l’espace, notre équation matricielle est donc de la forme indiquée, où 𝐴 est une matrice de dimension quatre par quatre. Pour déterminer quels sont les éléments de 𝐴, il est utile d’aligner les variables dans les mêmes colonnes de notre matrice au membre de droite. Il y a quatre variables : 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑥 trois et 𝑥 quatre. Nous devrions donc laisser de l’espace dans la première ligne pour 𝑥 quatre à la fin. Notre 𝑥 un dans la deuxième ligne doit être au premier plan. Et 𝑥 trois passe sous 𝑥 trois dans la première ligne, et ainsi de suite.

Les éléments réels de la matrice des coefficients 𝐴 sont les coefficients des variables de la ligne correspondante de notre matrice 𝐶 au membre de droite. Ainsi dans la première ligne, nous avons les éléments un, trois, deux et zéro puisque le coefficient de 𝑥 quatre dans la première ligne de 𝐶 est zéro. Notre deuxième ligne de 𝐴 a alors les éléments un, zéro, deux, et zéro. Notre troisième ligne de 𝐴 a les éléments zéro, zéro, six et zéro. Et enfin, notre quatrième ligne aura les éléments un, trois, zéro, et un.

De sorte que, la matrice 𝐴 quand elle multiplie le vecteur colonne par les éléments 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑥 trois et 𝑥 quatre est égale au vecteur colonne avec les éléments 𝑥 un plus trois 𝑥 deux plus deux 𝑥 trois, deux 𝑥 trois plus 𝑥 un , six 𝑥 trois, et 𝑥 quatre plus trois 𝑥 deux plus 𝑥 un a des éléments un, trois, deux, zéro dans la première ligne ; un, zéro, deux, zéro dans la deuxième ligne ; zéro, zéro, six et zéro dans la troisième ligne ; et un, trois, zéro, un dans la quatrième ligne. C’est une matrice de dimension quatre par quatre. Et nous pouvons vérifier que c’est correct en effectuant une multiplication matricielle du membre de gauche et en égalisant avec le membre de droite.

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