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Calculez l’aire de la région délimitée au-dessus par la courbe 𝑦 égal à un sur 𝑥, au-dessous par la courbe 𝑦 est égal à un sur deux 𝑥 au carré et sur le côté par le ligne 𝑥 est égal à un.
La question veut que nous trouvions l’aire d’une région qui est délimitée au-dessus par la courbe 𝑦 est égal à un sur 𝑥, au-dessous par la courbe 𝑦 est égal à un sur deux 𝑥 au carré et sur le côté par la droite verticale 𝑥 est égal à un. Et nous savons comment calculer l’aire comprise entre deux fonctions.
Nous rappelons que si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions continues sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏. Et que 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑔 de 𝑥 sur cet intervalle fermé. Alors, nous pouvons calculer l’aire délimitée au-dessus par 𝑓 de 𝑥, au-dessous par 𝑔 de 𝑥, et sur les côtés par 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 comme l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans notre cas, notre région est délimitée au-dessus par la courbe 𝑦 est égal à un divisé par 𝑥. Nous allons donc poser que 𝑓 est égale à un divisé par 𝑥. Et nous remarquons qu’il s’agit d’une fonction rationnelle et qu’elle est continue tant que son dénominateur n’est pas égal à zéro. De même, nous voyons que notre région est délimitée au-dessous par la courbe 𝑦 est égal à un divisé par deux 𝑥 au carré. Nous allons donc poser que 𝑔 de 𝑥 est égal à ceci. Et nous remarquons que c’est aussi une fonction rationnelle et qu’elle est continue tant que son dénominateur n’est pas égal à zéro.
Ainsi, nous avons trouvé les intervalles sur lesquelles nos fonctions 𝑓 et 𝑔 sont continues. Esquissons maintenant une représentation graphique de notre région afin de trouver l’intervalle fermé sur lequel nous devons intégrer. Nous allons commencer par esquisser une représentation graphique de notre fonction inverse 𝑦 est égal à un divisé par 𝑥. Nous voulons maintenant dessiner sur le même graphe la courbe 𝑦 est égal à un divisé par deux 𝑥 au carré. Nous connaissons la forme générale de cette courbe car elle sera la même que celle de la fonction un divisé par 𝑥 au carré. Sauf qu’elle sera étirée dans la direction verticale d’un facteur un demi.
Nous pouvons déterminer toutes les intersections entre les courbes 𝑦 est égal à un sur 𝑥 et 𝑦 est égal à un sur deux 𝑥 au carré en résolvant l’équation un sur 𝑥 est égal à un sur deux 𝑥 au carré. La multiplication des deux membres de notre équation par deux 𝑥 au carré nous donne que deux 𝑥 est égal à un, que nous pouvons résoudre pour nous donner que 𝑥 est égal à un demi. Ainsi, nos courbes s’intersectent uniquement lorsque 𝑥 est égal à un demi. Nous ajouterons également 𝑥 est égal à un puisque c’est par ce côté que notre région est délimitée.
Maintenant, la question nous dit que notre région est délimitée au-dessus par un sur 𝑥 et au-dessous par un sur deux 𝑥 au carré. Dons, nous pourrions simplement esquisser la courbe 𝑦 est égal à un sur deux 𝑥 au carré au-dessous dans cette région et poursuivre. Vérifions cependant par précaution que ceci est vrai.
Premièrement, nous savons que lorsque 𝑥 est inférieur ou égal à zéro, notre courbe un divisée par deux 𝑥 au carré est positive. Nous n’avons donc pas à nous inquiéter de ce cas. Et pour les valeurs positives de 𝑥, nous savons que un divisé par 𝑥 sera supérieur à un divisé par deux 𝑥 au carré lorsque son dénominateur est plus petit, et ainsi lorsque 𝑥 est inférieur à deux 𝑥 au carré. De la même manière, un divisé par 𝑥 sera plus petit que un divisé par deux 𝑥 au carré lorsque son dénominateur sera plus grand.
Il y a plusieurs façons de vérifier lequel est le plus grand. Nous allons considérer la courbe de la fonction égale à la différence entre les deux valeurs. Lorsque cette courbe est au-dessus de l’axe des 𝑥, deux 𝑥 au carré sera plus grand. Et quand elle est au-dessous de l’axe des 𝑥, deux 𝑥 au carré sera plus petit. Nous factorisons par 𝑥 pour obtenir 𝑥 multiplié par deux 𝑥 moins un. Résoudre que ceci est égal à zéro nous donne que l’un de nos facteurs doit être égal à zéro. Ainsi, soit 𝑥 est égal à zéro soit 𝑥 est égal à un demi. Ceci indique que nos intersections avec l’axe des 𝑥 sont en zéro et en un demi.
Enfin, comme le terme de plus haut degré de notre polynôme est deux 𝑥 au carré, ce qui est positif, nous pouvons tracer une représentation graphique de notre courbe. Elle aura une forme similaire à celle de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré. Et pour des valeurs de 𝑥 supérieures à zéro, nous pouvons voir que notre courbe est au-dessous de l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 est compris entre zéro et un demi. Et elle est au-dessus de l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur à un demi. Ainsi, la différence est positive lorsque 𝑥 est supérieur à un demi. Ceci revient à dire que deux 𝑥 au carré est supérieur à 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur à un demi. Et la différence est négative lorsque 𝑥 est compris entre zéro et un demi. Ainsi, deux 𝑥 au carré est inférieur à 𝑥 lorsque 𝑥 est compris entre zéro et un demi.
Enfin, ceci nous dit que notre représentation graphique doit commencer au-dessus de la courbe de un sur 𝑥 puis passer en dessous. Maintenant, à partir de notre croquis, nous pouvons voir que notre région est délimitée au-dessus par un sur 𝑥, au-dessous par un sur deux 𝑥 au carré, à gauche par 𝑥 est égal à un demi et à droite par 𝑥 est égal à un. Alors, faisons un peu de place et discutons si nous pouvons utiliser notre règle sur les intégrales pour calculer cette aire.
Nous savons que 𝑓 et 𝑔 sont continues sur tout intervalle qui ne contient pas 𝑥 est égal à zéro. Elles sont donc, en particulier, continues sur l’intervalle fermé de un-demi à un. Et nous avons déjà démontré que 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à un demi. Ceci est donc également vrai sur l’intervalle fermé de un demi à un. Par conséquent, nous pouvons conclure que nous pouvons calculer l’aire de notre région en utilisant l’intégrale de un demi à un de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Ceci nous indique que notre aire est donnée par l’intégrale de un demi à un de un sur 𝑥 moins un sur deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.
Nous sommes maintenant prêts à évaluer cette intégrale. Nous rappelons que l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. Et sachant les constantes 𝑎 et 𝑛, avec 𝑛 différent de moins un, la règle de puissance d’intégration nous dit que l’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 plus un le tout divisé par 𝑛 plus un plus la constante d’intégration 𝐶. Nous ajoutons un à l’exposant et divisons par ce nouvel exposant.
L’intégration de un sur 𝑥 nous donne le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. Et puis, nous réécrivons moins un divisé par deux 𝑥 au carré comme moins un demi multiplié par 𝑥 à la puissance moins deux. Donc, pour intégrer ceci, nous ajoutons un à l’exposant pour obtenir moins un, puis nous divisons par ce nouvel exposant à savoir moins un. Ceci nous donne un divisé par deux 𝑥. Et puisque nous calculons une intégrale définie, les constantes d’intégration s’annuleront lorsque nous l’évaluerons en ses bornes. Laissons donc ceci de côté.
En calculant notre intégrale en ses bornes, qui sont 𝑥 est égal à un demi et 𝑥 est égal à un, nous obtenons le logarithme népérien de la valeur absolue de un plus un divisé par deux fois un moins le logarithme népérien de la valeur absolue de un demi plus un divisé par deux fois un demi. La valeur absolue de un est égale à un. Et puis, le logarithme népérien de un est égal à zéro.
Nous pouvons simplifier un divisé par deux fois un comme étant simplement égal à un demi. De même, un divisé par deux fois un demi nous donne un. Ceci nous donne un demi moins le logarithme népérien de la valeur absolue d’un demi moins un. Nous voyons qu’un demi est positif, et donc la valeur absolue de un demi est simplement égale à un demi.
Enfin, nous pourrions simplifier davantage en utilisant la loi d’une puissance pour les logarithmes, qui nous dit que 𝑎 fois le logarithme de 𝑏 est égal au logarithme de 𝑏 à la puissance 𝑎. En utilisant ceci, nous pouvons simplifier notre réponse en moins un demi plus le logarithme népérien de l’inverse de un demi. Et l’inverse d’un demi est égal à deux, ce qui nous donne moins un demi plus le logarithme népérien de deux. Par conséquent, nous avons montré que l’aire de la région délimitée au-dessus par la courbe 𝑦 est égal à un sur 𝑥, au-dessous par la courbe 𝑦 est égal à un sur deux 𝑥 au carré et sur le côté par 𝑥 est égal à un est égale à moins un demi plus le logarithme népérien de deux.
