Transcription de la vidéo
Écrivez sous forme paramétrique l’équation de la droite L passant par les points 𝑃 un égale quatre, un, cinq et 𝑃 deux égale moins deux, un, trois.
Quand les coordonnées cartésiennes d'une courbe ou d'une surface sont représentées comme fonctions de la même variable, généralement 𝑡, on les appelle des équations paramétriques. Par conséquent, les équations paramétriques dans le plan 𝑥𝑦 seraient notées 𝑥 égale 𝑓 de 𝑡, 𝑦 égale 𝑔 de 𝑡, et 𝑧 égale ℎ de 𝑡. Ces valeurs nous indiquent essentiellement les coordonnées 𝑥, 𝑦, et 𝑧 de la courbe, étant donné une valeur spécifique de 𝑡. Rappelons l'équation vectorielle d'une droite et de utilisons la pour trouver l'équation paramétrique.
Pour la droite qui passe par un point avec un vecteur position 𝑟 zéro et un vecteur directeur 𝑎, l'équation vectorielle est 𝑟 égale 𝑟 zéro plus 𝑎 fois 𝑡, où 𝑡 peut prendre des valeurs allant de moins ∞ à plus ∞. Écrivons donc l'équation vectorielle de notre droite 𝐿. On sait qu'elle passe par 𝑃 un. Et 𝑃 1 a un vecteur position quatre, un, cinq. C'est juste le vecteur qui nous mène de l'origine au point 𝑃 un.
Mais il est comment le vecteur directeur ? Eh bien, le vecteur directeur peut être trouvé en se déplaçant de 𝑃 un à 𝑃 deux, en trouvant le vecteur 𝑃 un 𝑃 deux. On le trouve en soustrayant le vecteur 𝑂𝑃 un de 𝑂𝑃 deux. C'est moins deux, un, trois, moins quatre, un, cinq. On peut calculer 𝑃 un 𝑃 deux en soustrayant les composantes correspondantes. Donc on obtient moins six, zéro, et moins deux. Et donc, sous forme de vecteur colonne, on trouve que l'équation vectorielle de notre droite 𝐿 est quatre, un, cinq plus moins six, zéro, moins deux 𝑡.
On va maintenant écrire 𝑟 comme un vecteur colonne. On voit donc ce qu'on doit faire ensuite. On va l'écrire comme 𝑥, 𝑦, 𝑧. On développe ensuite le deuxième vecteur en multipliant chaque composante par 𝑡. Puis, on trouve la somme des composantes 𝑥, 𝑦, et 𝑧. On a donc 𝑥, 𝑦, 𝑧 égale quatre moins six 𝑡, un plus zéro 𝑡, et cinq moins deux 𝑡. On peut bien sûr écrire la composante 𝑦 simplement comme un.
Et maintenant, on doit savoir ce qu’il faut faire ensuite. On sait que, pour que ces deux vecteurs soient égaux, leurs composantes respectives doivent être égales. Autrement dit, 𝑥 doit être égale à quatre moins six 𝑡. 𝑦 doit être égale à un. Et 𝑧 égale cinq moins deux 𝑡, pour des valeurs de 𝑡 supérieures à moins ∞ et inférieures à plus ∞. Rappelez-vous, on s'attendait à ce que nos équations soient de la forme 𝑥 égale une fonction de 𝑡. 𝑦 égale une fonction de 𝑡. Et 𝑧 égale à une autre fonction de 𝑡. Cet objectif est effectivement atteint On a donc écrit l'équation de la droite 𝐿 sous forme paramétrique.
Il s'agit de 𝑥 égale quatre moins six 𝑡, 𝑦 égale un, et 𝑧 égale cinq moins deux 𝑡 pour des valeurs de 𝑡 supérieures à moins ∞ et inférieures à plus ∞.
