Vidéo : Résoudre des problèmes écrits en ajoutant des quantités représentées sous forme de vecteurs en norme et direction

Une femme a commencé à marcher de chez elle et a marché 6 milles à 40° au nord-est de l’est, puis 2 milles à 15° à l’est du sud, puis 5 milles à 30° au sud-ouest. Si elle rentrait directement chez elle, quelle distance aurait-elle à marcher et dans quelle direction ? Indique la distance en milles à 2 décimales près et la direction en degrés à une décimale près.

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Transcription de vidéo

Une femme a commencé à marcher de chez elle et a marché six milles à 40 degrés au nord de l’est, puis deux milles à 15 degrés à l’est du sud, puis cinq milles à 30 degrés au sud de l’ouest. Si elle rentrait directement chez elle, quelle distance aurait-elle à marcher et dans quelle direction ? Indique la distance en milles au centième près et la direction en degrés au dixième près.

Ce serait une bonne idée de représenter cette histoire à l’aide d’une figure. Elle commence à marcher de sa maison, ce que nous représentons par un point. Et à partir de là, elle marche six milles à 40 degrés au nord de l’est. Ceci est une quantité vectorielle. On nous donne à la fois la norme, six milles, et la direction, 40 degrés au nord de l’est. Et comme la direction est donnée en référence aux directions de la boussole, c’est probablement une bonne idée de placer une boussole sur notre figure. De la maison, cette direction est l’est. Et donc, cette direction est à 40 degrés au nord de l’est. Et en laissant la norme de ce facteur être de six milles. Après avoir marché six milles à 40 degrés au nord de l’est, elle se trouve alors à la fin du vecteur au point terminal. Mais elle ne s’arrête pas là, elle continue de marcher deux milles à 15 degrés à l’est du sud. Nous marquons au sud. Ensuite, les déplacements de deux milles à 15 degrés à l’est du sud sont représentés par le vecteur orange. Elle parcourt ensuite cinq milles à 30 degrés au sud de l’ouest. Alors finalement, elle finit ici au point terminal de ce vecteur bleu.

La question est de savoir comment elle rentre à la maison. Dans quelle direction doit-elle marcher et sur quelle distance ? Tous les vecteurs de notre figure sont placés bout à bout. Cela nous donne l’indication que nous avons affaire à un problème d’addition de vecteur. Son dernier déplacement, quand elle commence à se demander comment rentrer chez elle, est la somme des vecteurs de déplacement violet, orange et bleu. Notre tâche est de trouver le vecteur vert qui la ramène chez elle et lui permet de se déplacer de chez elle par le vecteur nul. Essayons d’abord de trouver cette somme.

Pour déterminer cette somme, nous écrivons d’abord chaque vecteur de cette somme sous forme de coordonnées. Donnons à ces vecteurs des noms pour nous faciliter la tâche. Nous les appelons 𝑈, 𝑉 et 𝑊. Donc, notre somme est 𝑈 plus 𝑉 plus 𝑊. Commençons par déterminer 𝑈 sous forme de coordonnées. Nous savons comment faire cela, étant donnée la norme du vecteur et la mesure 𝜃 de l’angle, mesurée dans le sens trigonométrique à partir du vecteur 𝐼. Tout d’abord, nous allons devoir décider dans quel sens les vecteurs unitaires 𝐼 et 𝐽 vont pointer. Nous avons choisi de faire pointer 𝐼 vers l’est et pointer 𝐽 vers le nord, ce qui est en quelque sorte conventionnel. Nous sommes prêts à remplacer à présent. La norme de 𝑈 est six. Et la valeur de 𝜃, la direction mesurée dans le sens trigonométrique à partir de l’est, est de 40 degrés. Nous avons donc ici les coordonnées de 𝑈. Laissons un peu d’espace et faisons de même pour 𝑉.

Nous écrivons la formule en fonction de la norme de 𝑉 et 𝜃, la mesure de l’angle mesurée dans le sens trigonométrique de l’est. La norme de 𝑉 est deux. Mais quelle est la valeur de 𝜃 ? Nous pourrions être tentés de dire que 𝜃 est de 15 degrés parce que c’est la valeur que nous voyons marquée. 𝜃 doit être mesurée dans le sens trigonométrique à partir du vecteur 𝐼. Et comme 𝐼 pointe vers l’est, cela signifie dans le sens contraire des aiguilles d’une montre depuis l’est. Nous avons eu de la chance avec 𝑈 que l’angle marqué ait déjà été mesuré dans le sens trigonométrique à partir de l’est, comme requis. Malheureusement, pour 𝑉, nous allons devoir travailler davantage. Marquons dans la direction est depuis le point initial et marquons dans l’angle que nous voulons que nous appelons 𝜑. En regardant les angles autour de ce point initial, nous devrions pouvoir voir que 𝜑 plus 15 degrés doit être de 90 degrés, car l’angle entre l’est et le sud est de 90 degrés. Et si 𝜑 vaut 75 degrés. Mais 𝜃 est mesuré dans le sens trigonométrique à partir de l’est. Et nous voyons que nous avons 75 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre depuis l’est. Donc 𝜃 vaut moins 75 degrés. Et nous substituons cette valeur. Il est temps de libérer de l’espace et de trouver les coordonnées de 𝑊.

Encore une fois, la norme de 𝑊 est la partie facile. On nous dit qu’elle vaut cinq. Le plus difficile est de s’assurer que nous mesurons 𝜃 de la bonne manière. Encore une fois, nous marquons dans la direction est du point initial. Nous voyons que 𝜑 est mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’est car il est complémentaire avec l’angle de 30 degrés indiqué. Et ainsi 𝜃, mesurée dans le sens trigonométrique, est moins 150 degrés. Sinon, nous aurions pu inverser le cercle en ajoutant 180 degrés à 30 degrés. Et par conséquent, obtenir une valeur de 210 degrés. Les deux approches sont valables. Et les deux donnent les mêmes coordonnées de 𝑊.

Nous avons maintenant les coordonnées de 𝑈, 𝑉 et 𝑊. Nous pouvons trouver leur somme simplement en ajoutant les coordonnées. Nous additionnons les coordonnées 𝑥 des vecteurs en utilisant une calculatrice en mode degré pour déterminer que la coordonnée 𝑥 du vecteur final est 0.783777 point point point. De la même manière, nous additionnons les coordonnées 𝑦 des vecteurs pour déterminer si la coordonnée 𝑦 de son déplacement final est négative : 0.575125 point point point. Pour rentrer chez elle de sa position finale, elle doit partir dans le sens opposé. Nous voulons donc que le vecteur vert recherché soit l’inverse additif de ce déplacement final. Le déplacement qu’elle doit faire pour rentrer chez elle est donc négatif : 0.78377 point, point, point 0.575125 point point point. Chaque coordonnée est l’opposée de la coordonnée dans le déplacement final. Tu peux vérifier que la somme de 𝑈, 𝑉, 𝑊 et de ce vecteur vert est égale à zéro. Et donc, si elle suit ce chemin, elle revient vraiment à son point de départ.

Nous avons presque fini maintenant. Nous avons trouvé le déplacement qu’elle doit effectuer pour rentrer chez elle. Mais nous devons donner ce déplacement sous forme de distance en milles et de direction en degrés qu’elle doit parcourir. En d’autres termes, nous devons prendre notre vecteur, que nous avons sous forme de coordonnée, et l’écrire sous forme norme-direction. Nous avons fait de la place pour calculer cela. La distance que nous recherchons est la norme de ce vecteur de déplacement. Et nous savons trouver la norme de ce vecteur. C’est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées.

En substituant les coordonnées à cette formule, en utilisant bien sûr les six décimales exactes de la précision plutôt que les deux que j’ai écrites ici, nous obtenons 0.97, avec les deux décimales requises. Et bien sûr, toutes les quantités données sont exprimées en milles. Et donc c’est une distance en milles.

Maintenant, nous devons trouver la direction. Pour ce faire, le moyen le plus simple consiste à utiliser les coordonnées du vecteur pour en dessiner un diagramme précis. Si nous plaçons le point initial ici, alors la coordonnée 𝑥 nous dit que le point terminal est moins 0.783777 point point point unité vers la droite, ou de manière équivalente, 0.783777 point point point à gauche du point initial. La coordonnée 𝑦 nous dit que le point terminal est situé à 0.575125 point point point unité au-dessus du point initial. Et ainsi nous pouvons marquer le point terminal et dessiner le vecteur. Rappelle-toi, nous cherchons la direction du vecteur. Nous pouvons voir que cette direction est 𝜃 au nord de l’ouest, où 𝜃 est marqué.

Notre seule question est maintenant, quelle est la valeur de 𝜃 ? Heureusement, nous avons un triangle rectangle. Et dans ce triangle rectangle, tan 𝜃 est la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Et nous pouvons utiliser la fonction de tangente inverse sur notre calculatrice, en vérifiant que nous sommes d’abord en mode degré, pour trouver la valeur de 𝜃. Nous obtenons que 𝜃 est de 36.3 degrés, avec la précision requise d’une décimale. La direction est donc approximativement 36.3 degrés nord de l’ouest.

Et en réunissant tout cela, nous obtenons notre réponse finale. Que pour rentrer chez elle, elle doit parcourir 0.97 mille, à 36.3 degrés au nord de l’ouest.

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