Transcription de la vidéo
Trouvez l’inverse de la matrice d’ordre trois trois 𝑒 à la puissance 𝑡, cosinus 𝑡, sinus 𝑡, 𝑒 à la puissance 𝑡, moins sinus 𝑡, cosinus 𝑡, 𝑒 à la puissance 𝑡, moins cosinus 𝑡, moins sinus 𝑡.
Dans cette question, on nous donne une matrice d’ordre trois trois et on nous demande de trouver l’inverse de cette matrice. Chaque fois qu’on nous demande de trouver l’inverse d’une matrice, cela signifie l’inverse multiplicatif de notre matrice. Nous avons différentes méthodes pour le faire. Dans cette vidéo, nous allons utiliser la méthode de l’adjointe. Commençons donc par rappeler les étapes dont nous avons besoin pour trouver l’inverse d’une matrice en utilisant la méthode de l’adjointe. Pour nous faciliter la tâche, nous allons nommer la matrice qui nous est donnée dans la question la matrice 𝐴.
Nous rappelons qu’il y a cinq étapes pour trouver l’inverse d’une matrice en utilisant la méthode de l’adjointe. Tout d’abord, nous devons vérifier que le déterminant de notre matrice n’est pas égal à zéro. Ceci parce que si le déterminant est égal à zéro, alors nous savons que notre matrice n’est pas inversible. De plus, nous allons devoir l’utiliser plus tard pour trouver l’inverse. La deuxième étape consiste à trouver les déterminants de toutes les matrices mineures dans notre matrice 𝐴. Celles-ci sont représentées par 𝐴 𝑖𝑗. Rappelez-vous, la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗 est la matrice que nous obtenons en supprimant la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de notre matrice 𝐴. La troisième étape consiste à construire la matrice des cofacteurs de la matrice 𝐴.
L’élément dans la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de notre matrice des cofacteurs de 𝐴 est donné par moins un à la puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant de notre matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗. La quatrième étape consiste à construire la matrice adjointe de la matrice 𝐴. Nous obtenons cela simplement en prenant la transposée de notre matrice des cofacteurs. Rappelez-vous, pour trouver la transposée d’une matrice, nous devons inverser les lignes et les colonnes. Enfin, nous pouvons construire la matrice inverse de la matrice 𝐴 en multipliant la matrice adjointe de 𝐴 par un divisé par le déterminant de 𝐴.
Ainsi, pour trouver notre inverse, prenons ces étapes l’une après l’autre. Commençons par trouver le déterminant de la matrice 𝐴. Nous devons trouver le déterminant de notre matrice 𝐴 d’ordre trois trois. Nous pouvons voir que nous avons une matrice très compliquée et que nous pourrions utiliser différentes options. Si nous voulions le faire en développant selon une ligne ou une colonne, nous le ferions généralement en trouvant la ligne ou la colonne avec le plus grand nombre de zéros. Cependant, cette matrice n’en a pas. Au lieu de cela, nous devons remarquer que les trois entrées de notre première colonne sont les mêmes. Ainsi, si nous développons selon cette colonne, nous aurons un facteur commun que nous pourrons éliminer. Nous allons donc trouver ce déterminant en développant selon la première colonne.
Commençons par le premier élément de la première colonne. Nous allons devoir le multiplier par le déterminant de la matrice mineure que nous obtenons en supprimant la première ligne et la première colonne. N’oubliez pas que nous obtenons également un coefficient de moins un élevé à la puissance du numéro de la ligne plus le numéro de la colonne de l’entrée que nous développons. Dans ce cas, nous développons selon l’entrée de la première ligne et de la première colonne. Nous obtenons donc un coefficient de moins un à la puissance un plus un. Nous voulons ensuite faire exactement la même chose pour la deuxième entrée de notre colonne. Nous voulons multiplier cela par le déterminant de la matrice mineure que nous obtenons en supprimant la première colonne et la deuxième ligne.
N’oubliez pas que nous voulons également multiplier cela par moins un élevé à la puissance du numéro de la ligne plus le numéro de la colonne de l’entrée que nous développons. Dans ce cas, il s’agit de la première colonne de la deuxième ligne. Nous devons faire ceci encore une fois pour la dernière entrée de notre colonne. Nous devons multiplier cela par le déterminant de la matrice mineure que nous obtenons en supprimant la première colonne et la troisième ligne. Bien sûr, nous devons toujours multiplier cela par moins un élevé à la puissance du numéro de la colonne plus le numéro de la ligne de l’entrée par rapport auquel nous développons. Dans ce cas, il s’agit de l’entrée de la colonne un et de la ligne trois. Cela nous donne l’expression suivante pour le déterminant de la matrice 𝐴.
Nous pouvons commencer par simplifier le signe de chacun de nos trois termes. Nous obtenons un, moins un et un, respectivement. Cela nous donne l’expression suivante. Ensuite, nous voyons que nous pouvons factoriser par 𝑒 à la puissance 𝑡. Cela nous donne l’expression suivante. Maintenant, tout ce que nous devons faire est calculer la valeur de trois déterminants d’ordre deux deux. Pour ce faire, nous rappelons que le déterminant de la matrice d’ordre deux deux, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous trouvons la différence entre les produits des diagonales. Nous pouvons commencer par appliquer cela à notre premier terme. Nous obtenons moins le sinus de 𝑡 multiplié par moins le sinus de 𝑡 moins le cosinus de 𝑡 multiplié par moins le cosinus de 𝑡. Au lieu de continuer, nous pouvons simplifier cette expression dès à présent. Elle se simplifie pour nous donner le sinus au carré de 𝑡 plus le cosinus au carré de 𝑡.
Cependant, nous savons en fait qu’il s’agit d’une identité. Ceci est exactement égal à un pour toutes les valeurs de 𝑡. Le déterminant de la matrice dans notre premier terme nous a donné donc un. Calculons maintenant le déterminant de la matrice dans notre deuxième terme. En utilisant notre formule et en nous rappelant que nous devons soustraire cette valeur, nous obtenons le cosinus de 𝑡 multiplié par moins le sinus de 𝑡 moins le sinus de 𝑡 multiplié par moins le cosinus de 𝑡. Comme nous le faisions auparavant, nous pourrions simplifier cela dès à présent. Elle se simplifie pour nous donner moins sinus 𝑡 fois le cosinus de 𝑡 plus le sinus de 𝑡 multiplié par le cosinus de 𝑡. Bien sûr, cela donne juste zéro.
Enfin, tout ce que nous devons faire est de calculer le déterminant de la matrice dans notre troisième terme. Nous trouvons la différence des produits des diagonales et simplifions. Cela nous donne le cosinus au carré de 𝑡 plus le sinus au carré de 𝑡. Encore une fois, en utilisant exactement la même identité, nous savons que cela équivaut à un pour toutes les valeurs de 𝑡. Nous pouvons donc remplacer toute cette expression par un, ce qui nous donne le déterminant de la matrice 𝐴 égal à 𝑒 à la puissance 𝑡 multiplié par un moins zéro plus un. Nous pouvons calculer cette expression. Cela donne deux fois 𝑒 à la puissance 𝑡. Il y a quelque chose de très important à réaliser à ce propos. Nous savons que cela est strictement positif pour toutes les valeurs de 𝑡. Rappelez-vous, notre matrice ne sera pas inversible si le déterminant de notre matrice est égal à zéro.
Ainsi, parce que nous avons montré que notre déterminant est strictement positif pour toutes les valeurs de 𝑡, nous avons également prouvé que notre matrice sera inversible pour toutes les valeurs de 𝑡. Cependant, ce n’est que la première étape pour trouver l’inverse de cette matrice, alors laissez un peu d’espace pour le reste de notre travail et gardons à l’esprit le déterminant de la matrice 𝐴 qui est deux 𝑒 à la puissance 𝑡. La deuxième étape que nous devons faire est de trouver les déterminants de toutes les matrices mineures de notre matrice 𝐴. Commençons par trouver la matrice mineure 𝐴 un, un. Rappelez-vous, la matrice mineure 𝐴 un, un est la matrice que nous obtenons en supprimant la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴. Nous devons trouver le déterminant de cela. Il s’agit du déterminant de la matrice d’ordre deux deux moins sin 𝑡, cos 𝑡, moins cos 𝑡, moins sin 𝑡.
Tout comme nous le faisions auparavant, pour trouver le déterminant de cette matrice, nous devons trouver la différence du produit des diagonales. En simplifiant cette expression, nous obtenons sinus au carré 𝑡 plus cosinus au carré 𝑡, ce qui est encore une fois une identité. Cela donne un pour toutes les valeurs de 𝑡. Mais rappelez-vous, nous devons le faire pour toutes nos matrices mineures. Trouvons maintenant le déterminant de la matrice mineure 𝐴 un deux. Il s’agit de la matrice mineure que nous obtenons en supprimant la première ligne et la deuxième colonne de notre matrice 𝐴. Nous devons donc trouver le déterminant de la matrice d’ordre deux deux 𝑒 à la puissance 𝑡, cosinus 𝑡, 𝑒 à la puissance 𝑡, moins sinus 𝑡.
Nous le faisons de la même manière qu’avant. Nous devons trouver la différence du produit des diagonales. En simplifiant cela, nous obtenons moins 𝑒 à la puissance 𝑡 fois sinus 𝑡 moins 𝑒 à la puissance 𝑡 cosinus 𝑡. Nous pouvons simplifier cela en factorisant par moins 𝑒 à la puissance 𝑡. Cela nous donne que le déterminant de la matrice mineure 𝐴 un deux est égal à moins 𝑒 à la puissance 𝑡 fois le sinus de 𝑡 plus le cosinus de 𝑡. Nous allons devoir le faire pour toutes les neuf matrices mineures. Alors libérons de l’espace et réécrivons les déterminants des deux matrices mineures que nous avons trouvés jusqu’à présent. En faisant exactement la même méthode et en simplifiant toutes nos expressions, nous pouvons calculer les déterminants des sept matrices mineures restantes. Nous obtenons les expressions suivantes.
Voilà donc notre deuxième étape. Nous avons trouvé les déterminants des neuf matrices mineures de la matrice 𝐴. Rappelez-vous, nous avions besoin de tous ces éléments pour construire la matrice des cofacteurs de la matrice 𝐴. Chaque entrée de notre matrice des cofacteurs va être le déterminant de l’une de ces matrices mineures. Mais ensuite, nous multiplions cela par moins un à la puissance du numéro de la ligne plus le numéro de la colonne. Ainsi, dans la première ligne et la première colonne de notre matrice des cofacteurs, nous allons obtenir moins un à la puissance un plus un puisqu’on travaille sur la première ligne et la première colonne. Nous devons multiplier cela par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 un un, qui, nous l’avons montré, est égal à un. Cela nous donne moins un à la puissance un plus un fois un, ce qui, bien sûr, est égal à un.
Nous avons donc trouvé l’entrée dans la première ligne et la première colonne de notre matrice des cofacteurs. Trouvons maintenant l’entrée dans la première ligne et la deuxième colonne. Cette fois, nous obtenons moins un à la puissance un plus deux multiplié par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 un deux, qui est moins 𝑒 à la puissance 𝑡 fois le sinus de 𝑡 plus le cosinus de 𝑡. Nous pouvons simplifier cela. Moins un à la puissance un plus deux est égal à moins un. Si nous multiplions cela par notre autre facteur de moins un, nous obtenons un. Cela nous donne que l’entrée à la ligne un et la colonne deux de notre matrice des cofacteurs est 𝑒 à la puissance 𝑡 fois le sinus de 𝑡 plus le cosinus de 𝑡.
Nous allons maintenant vouloir faire exactement la même chose pour l’entrée de la première ligne et la troisième colonne. Cette fois, nous obtenons moins un à la puissance un plus trois multiplié par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 un trois, qui est 𝑒 à la puissance 𝑡 fois le sinus de 𝑡 moins le cosinus de 𝑡. Bien sûr, moins un à la puissance un plus trois est égal à un. Ainsi, cela se simplifie pour nous donner 𝑒 à la puissance 𝑡 fois le sinus de 𝑡 moins le cosinus de 𝑡. Nous allons répéter cette démarche pour trouver toutes les entrées de notre matrice des cofacteurs. Cela nous donne la matrice d’ordre trois trois suivante pour notre matrice des cofacteurs 𝐶. En trouvant la matrice des cofacteurs de la matrice 𝐴, nous avons maintenant réussi la troisième étape, ce qui signifie que nous devons maintenant passer à la quatrième étape pour trouver l’inverse de la matrice 𝐴.
Nous devons maintenant construire la matrice adjointe de 𝐴, nous le faisons en trouvant la transposée de la matrice 𝐶. Rappelez-vous, pour trouver la transposée d’une matrice, nous devons inverser les lignes et les colonnes. Alors, trouvons la transposée de notre matrice des cofacteurs 𝐶. Nous allons commencer par écrire la première colonne comme première ligne. Nous devons réécrire notre première colonne de un, zéro, un comme première ligne de notre nouvelle matrice, un, zéro, un. Nous voulons ensuite faire de même avec la deuxième colonne de notre matrice. Nous devons écrire ceci comme la deuxième ligne de notre transposée. En ce faisant, la deuxième ligne de notre matrice adjointe est 𝑒 à la puissance 𝑡 fois sinus 𝑡 plus cosinus 𝑡, moins deux 𝑒 à la puissance 𝑡 fois sinus 𝑡, 𝑒 à la puissance 𝑡 multiplié par le sinus de 𝑡 moins le cosinus de 𝑡.
Enfin, nous allons faire exactement la même chose avec la dernière colonne de notre matrice 𝐶. Cela nous donne la matrice suivante, qui est la transposée de notre matrice des cofacteurs. Rappelez-vous, on l’appelle aussi la matrice adjointe de notre matrice 𝐴. De plus, pour trouver l’inverse de la matrice 𝐴, tout ce que nous devions faire était de trouver la matrice adjointe de la matrice 𝐴 et le déterminant de la matrice 𝐴. Nous avons fait les deux démarches. Alors, maintenant, nous pouvons simplement trouver une expression pour l’inverse de la matrice 𝐴. Nous obtenons l’inverse multiplicatif de la matrice 𝐴 qui va être égal à un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par la matrice adjointe de la matrice 𝐴. Nous avons montré que le déterminant de la matrice 𝐴 est deux 𝑒 à la puissance 𝑡.
Nous avons trouvé la matrice adjointe de 𝐴. Cependant, il n’est pas nécessaire d’écrire complètement cette matrice. Au lieu de cela, nous devons remarquer que nous multiplions chaque entrée de notre matrice adjointe par un divisé par deux 𝑒 à la puissance 𝑡. Cela signifie que tout ce que nous devons faire est de diviser toutes les entrées de notre matrice adjointe par deux 𝑒 à la puissance 𝑡. Nous allons commencer par l’entrée de la première ligne et de la première colonne. Nous devons diviser un par deux 𝑒 à la puissance 𝑡. Cela nous donne juste un sur deux 𝑒 à la puissance 𝑡. Cependant, nous allons réécrire cela comme la moitié de 𝑒 à la puissance moins 𝑡. Nous pourrions faire de même pour trouver l’entrée dans la première ligne et deuxième colonne. Nous aurions besoin de diviser zéro par deux par deux 𝑒 à la puissance 𝑡. Cependant, bien sûr, cela équivaut à zéro.
L’entrée de la première ligne et colonne trois est exactement la même que celle de la première ligne et première colonne. Nous allons donc également nous retrouver avec un demi fois 𝑒 à la puissance moins 𝑡. Ensuite, nous trouverons l’entrée dans la deuxième ligne et la première colonne de notre matrice inverse. Nous devons diviser 𝑒 à la puissance 𝑡 fois le sinus de 𝑡 plus le cosinus de 𝑡 par deux 𝑒 à la puissance 𝑡. Nous allons simplifier cela pour donner un demi multiplié par le sinus de 𝑡 plus le cosinus de 𝑡. En suivant exactement le même processus et en simplifiant, nous pouvons trouver toutes les entrées restantes de la matrice inverse. Cela nous donne notre réponse finale. Il convient de souligner ici que nous pourrions vérifier notre réponse en la multipliant par notre matrice 𝐴 et en vérifiant que nous obtenons la matrice identité d’ordre trois.
Par conséquent, nous avons pu trouver l’inverse multiplicatif de la matrice 𝐴 qui nous a été donné dans la question. Nous avons également montré que cela sera vrai pour toute valeur de 𝑡. Nous avons pu montrer que l’inverse de 𝐴 est égal à la matrice d’ordre trois un demi de 𝑒 à la puissance moins 𝑡, zéro, un demi de 𝑒 à la puissance moins 𝑡, un demi fois sinus 𝑡 plus cosinus 𝑡, moins sinus 𝑡, un demi multiplié par sinus de 𝑡 moins cosinus de 𝑡, un demi sinus 𝑡 moins cosinus 𝑡, cosinus 𝑡, moins un demi fois sinus 𝑡 plus cosinus 𝑡.
