Vidéo question :: Déterminer l’inverse de matrices tridimensionnelles Mathématiques

Transcription de la vidéo

En considérant la valeur du déterminant, déterminez si la matrice un, deux, trois, zéro, deux, un, trois, un, zéro est inversible. Si oui, alors déterminez la matrice inverse en utilisant la méthode des cofacteurs.

Une matrice est inversible si et seulement si la valeur de son déterminant n’est pas égale à zéro. Ainsi, pour nous aider à décider si cette matrice est inversible, nous commençons par calculer la valeur de son déterminant. Trouver le déterminant d’une matrice trois par trois est un peu plus compliqué que de trouver le déterminant pour une matrice deux par deux. Nous devons faire très attention à chaque étape.

La formule du déterminant d’une matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖 est 𝑎 multipliée par le déterminant de la matrice 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 moins 𝑏 multipliée par le déterminant de la matrice 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 plus 𝑐 multiplié par le déterminant de 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ. En d’autres termes, nous prenons chacun des éléments de la rangée supérieure et nous les multiplions par leur mineur. Soit le déterminant de la matrice deux par deux qui reste lorsque nous supprimons la ligne et la colonne où se trouve l’élément.

Ainsi, par exemple, avec l’élément 𝑎, nous pouvons voir que son mineur est le déterminant de la matrice 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Nous devons également nous rappeler de multiplier le deuxième élément 𝑏 par moins un. Pour cette matrice ici, nous avons un multiplié par le déterminant de deux, un, un, zéro. Ceci parce que lorsque nous supprimons la ligne et la colonne où se trouve ce premier élément, il nous reste ces quatre chiffres, deux, un, un, zéro.

Nous soustrayons ensuite deux multiplié par le déterminant de la matrice deux par deux restante zéro, un, trois, zéro. Puis, nous ajoutons trois multiplié par le déterminant de zéro, deux, trois, un. Ensuite, nous devons trouver les déterminants des matrices deux par deux. Pour ce faire, nous trouvons le produit des éléments en haut à gauche et en bas à droite. Puis, nous soustrayons le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche.

Pour cette matrice, cela fait deux fois zéro moins un fois un, ce qui vaut moins un. Pour la deuxième matrice, nous avons zéro multiplié par zéro moins un multiplié par trois, ce qui vaut moins trois. Pour la troisième matrice, nous avons zéro multiplié par un moins deux multiplié par trois, ce qui vaut moins six. Cela nous donne une valeur de moins 13. La valeur du déterminant n’est pas égale à zéro, elle vaut moins 13. La matrice est donc bien inversible.

Maintenant que nous le savons, nous pouvons trouver la matrice inverse. Nous devons le faire en utilisant la méthode des cofacteurs. Pour ce faire, nous commençons par remplacer chaque entrée, ou chaque élément, dans la matrice par son mineur. Pour le premier élément, nous avons le déterminant de la matrice deux par deux deux, un, un, zéro. Soit moins un. Pour le deuxième élément, nous avons le déterminant de la matrice deux par deux zéro, un, trois, zéro. Nous avons barré la colonne du milieu. Soit moins trois. Pour le troisième élément, nous avons le déterminant de la matrice zéro, deux, trois, un, qui est moins six.

Nous continuons ce processus. Nous supprimons la ligne et la colonne où se trouve l’entrée. Nous trouvons le déterminant de la matrice deux par deux qui reste. Ainsi, notre matrice est moins un, moins trois, moins six, moins trois, moins neuf, moins cinq, moins quatre, un, deux.

Nous créons les cofacteurs matriciels en changeant les signes selon ce modèle. Nous multiplions le deuxième élément de la première ligne par moins un. En fait, nous le faisons pour un élément sur deux. Nous le faisons pour le premier élément de la deuxième rangée, le troisième élément de la deuxième rangée et le deuxième élément de la troisième rangée. Ainsi, notre matrice de cofacteurs est moins un, trois, moins six, trois, moins neuf, cinq, moins quatre, moins un, deux.

Notre troisième étape consiste à transposer cette matrice. Pour cela, nous faisons une symétrie de chacun des éléments par rapport à cette diagonale. Nous pouvons voir que les éléments sur la diagonale eux-mêmes doivent rester les mêmes. Nous allons échanger ces deux trois. Nous remplacerons le moins quatre par le moins six et vice-versa. Nous échangerons cinq et moins un.

Notre dernière étape consiste à multiplier par un sur le déterminant. Maintenant, vous pourrez peut-être voir pourquoi il était important que le déterminant de notre matrice ne soit pas égal à zéro. Si c’était le cas, nous aurions calculé un divisé par zéro, ce qui n’est pas défini. Une autre façon de penser à cela est de diviser chaque élément de la matrice par le déterminant, qui vaut moins 13.

Moins un divisé par moins 13 est un treizième. Trois divisé par moins 13 est moins trois treizièmes. Moins quatre divisé par moins 13 est quatre treizièmes. Nous continuons ce processus pour obtenir l’inverse.