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La figure montre le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥. Parmi les graphes suivants, lequel est un graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 plus deux ?
Examinons d'abord la représentation graphique de la fonction sinus, avant toute transformation. On remarque alors les cinq points clés situés sur une période de la courbe sinusoïdale. Il apparaît clairement que l'échelle sur l'axe des 𝑥 est en radians. On sait que le sinus a une période de deux 𝜋 radians, soit environ 6,28 radians. La courbe principale du sinus a également une amplitude de un, qui est la distance entre l’axe central et le sommet ou le creux.
Examinons maintenant les quatre transformations du graphe de la fonction sinus, en commençant par les translations verticales et horizontales. Une translation verticale, ou décalage, de 𝑓 de 𝑥 de 𝑎 est 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Une translation horizontale, ou déphasage, de 𝑓 de 𝑥 de moins 𝑏 est 𝑓 de 𝑥 plus 𝑏. Pour bien comprendre ce qu'on entend par cette règle, prenons deux exemples. 𝑓 de 𝑥 plus huit est une translation à gauche de huit, et 𝑓 de 𝑥 moins huit est une translation à droite de huit.
Le graphe de sinus se dilate verticalement par un facteur d'échelle 𝑐 si 𝑓 de 𝑥 est multiplié par 𝑐. On peut également parler d'un changement d'amplitude. Le graphe de sinus se dilate horizontalement par un facteur d'échelle un sur 𝑑 si on a 𝑓 de 𝑑 fois 𝑥. On peut également parler d'un changement de période. Faisons un peu d’espace maintenant pour déterminer quelle transformation est appliquée à la fonction sinus 𝑥 pour obtenir sinus 𝑥 plus deux et comment chacun des cinq graphes donnés se compare à la fonction sinus 𝑥.
Si le sinus 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥, alors sinus 𝑥 plus deux égale 𝑓 de 𝑥 plus deux, où la valeur de 𝑏 est deux. Par conséquent, on cherche le graphe de sinus avec une translation horizontale de moins deux, qui n'affecte pas la période initiale de deux 𝜋 ni l'amplitude de un. Cette transformation n'est qu'un simple décalage de deux radians vers la gauche.
Maintenant, nous sommes prêts à examiner le graphe de l'option (A). En mettant en évidence une période de la courbe sinusoïdale donnée, on remarque que l'amplitude est de un, mais que la période est passée d'environ 6,28 à environ 3,14, ou plus précisément d'une période de deux 𝜋 à une période de 𝜋. Cette courbe semble être le graphe de 𝑓 de deux 𝑥, puisqu’elle réduit en effet la période à sa moitié. De plus, on n'observe pas de décalage horizontal. Nous éliminons donc l'option (A).
Nous allons maintenant examiner l'option (B). Si on met à nouveau en évidence une période de la courbe sinusoïdale, on remarque que l'amplitude est de un. Une période de la courbe est comprise entre moins deux et un peu plus quatre. Ce graphe semble donc avoir une période de deux 𝜋, soit environ 6,28. Et comparé au graphe principal du sinus, qui passe par l'origine zéro, zéro, cette courbe passe par le point moins deux, zéro, ce qui montre bien le décalage horizontal de moins deux. On conclut donc que l'option (B) est le graphe de 𝑓 de 𝑥 plus deux.
Examinons rapidement les autres options pour nous assurer que nous n'avons rien oublié. Voici la courbe sinusoïdale proposée dans l'option (C). Ce graphe semble avoir la bonne période, mais l'amplitude est de deux au lieu de un, et il n'y a pas non plus de translation horizontale de deux. Étant donné le changement d'amplitude, ce graphe semble être celui de deux fois 𝑓 de 𝑥. Ainsi, on peut sans hésitation éliminer l'option (C).
Le graphe donné dans l'option (D) est remarquablement différent de tous les graphes sinusoïdaux que nous avons vus jusqu'à présent car cette courbe sinusoïdale ne touche pas du tout l'axe des 𝑥. La courbe a toujours une période de deux 𝜋 et une amplitude de un, mais la différence la plus importante est la translation verticale de deux vers le haut. Il s'agit donc du graphe de 𝑓 de 𝑥 plus deux en dehors des parenthèses, qui ne doit pas être confondu avec 𝑓 de 𝑥 plus deux à l'intérieur des parenthèses. Comme ce graphe est translaté verticalement et non horizontalement, on peut éliminer l'option (D).
Le dernier graphe à vérifier est celui de l'option (E). Cette courbe sinusoïdale a l'amplitude et la période correctes, mais elle semble être décalée de deux vers la droite, plutôt que de deux vers la gauche. Il s'agit donc du graphe de 𝑓 de 𝑥 moins deux. Il faut retenir qu'avec les translations horizontales, 𝑥 plus deux déplace le graphe vers la gauche et 𝑥 moins deux le déplace vers la droite. On élimine donc l'option (E).
Pour résumer, seule l'option (B) présente un graphe sinusoïdal avec une période de deux 𝜋, une amplitude de un et une translation horizontale de moins deux. Par conséquent, l'option (B) est le graphe de 𝑦 égale sinus 𝑥 plus deux.
