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Calculez l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation 𝑦 égal cinq 𝑥 et 𝑦 égal deux 𝑥 moins cinq le tout au carré.
Pour traiter ce genre de question, nous pouvons utiliser un logiciel afin de tracer les courbes et visualiser la région délimitée. Cependant, ici, cherchons plutôt à trouver les points importants de ces courbes de façon algébrique, en commençant par 𝑦 égal deux 𝑥 moins cinq le tout au carré. En regardant l’équation, nous pouvons voir que le terme dominant sera un certain coefficient fois 𝑥 au carré. Nous pouvons donc dire que la courbe est une parabole.
Pour mieux connaître cette courbe, cherchons son point d’intersection avec l’axe des 𝑦. Pour les deux équations, on a 𝑦 en fonction de 𝑥. Or, nous savons que lorsque la courbe croise l’axe des 𝑦, 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons donc entrer cette valeur de 𝑥 dans l’équation afin de trouver la valeur de 𝑦. En résolvant cette équation, nous constatons que 𝑦 est égal à 25 lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons donc dire que le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦 a pour coordonnées zéro, 25.
Continuons maintenant en trouvant le point d’intersection avec l’axe des 𝑥. Nous savons que lorsque la courbe croise l’axe des 𝑥, 𝑦 est égal à zéro. Puisque nous avons 𝑦 en fonction de 𝑥, nous pouvons appliquer cette information à notre équation. En regardant l’équation, nous voyons que nous avons un terme entre parenthèses au carré qui est égal à zéro. La seule façon pour que cela puisse être vrai est si le terme entre parenthèses est lui-même égal à zéro.
Nous pouvons donc affirmer que deux 𝑥 moins cinq est égal à zéro. Nous pouvons maintenant résoudre l’équation en ajoutant cinq de chaque côté et en divisant par deux. Nous avons maintenant trouvé que lorsque 𝑦 est égal à zéro, 𝑥 est égal à cinq sur deux. Nous pouvons donc dire qu’il n’y a qu’un seul point d’intersection avec l’axe des 𝑥 et celui-ci a pour coordonnées cinq sur deux, zéro.
Si nous regardons la courbe, nous pouvons voir qu’il n’y a qu’une seule droite horizontale qui ne coupe la courbe qu’une seule fois. Toutes les autres droites horizontales donnent deux points intersections. Puisque la courbe est une parabole, nous pouvons donc conclure que ce point d’intersection avec l’axe des 𝑥, est également le sommet de la courbe. Nous sommes maintenant plus en mesure de représenter la courbe sur un graphique en utilisant les points que nous avons trouvés.
Tournons maintenant notre attention sur l’autre équation, 𝑦 égal cinq 𝑥. Nous pouvons immédiatement voir que cette équation décrit une droite avec une pente positive passant par l’origine. Nous avons tracé ici cette droite sur le graphique. Maintenant que nous avons terminé de tracer les courbes sur le graphique, nous pouvons colorer la région délimitée par la parabole et la droite. Voyons comment trouver l’aire de cette région. Lorsque nous souhaitons trouver l’aire sous une courbe, l’un des outils que nous pouvons utiliser est l’intégration.
Une chose à vérifier rapidement est que la zone délimitée par les courbes ne passe pas au-dessous de l’axe des 𝑥. De là, nous pouvons conclure qu’à aucun moment l’intégrale ne donne une aire négative et nous pouvons donc procéder à l’intégration en toute sécurité sans séparer la région en différentes parties. Pour continuer avec cette méthode, nous devons déterminer les limites de l’intégration. En regardant à nouveau le graphique, nous pouvons voir que les points importants sont ceux où la droite et la parabole se croisent.
Nous pouvons utiliser la coordonnée 𝑥 de ces points d’intersection pour les limites 𝑎 et 𝑏 de l’intégrale. Afin de visualiser notre méthode plus clairement, traçons séparément la droite et la courbe, avec marqués les deux points d’intersection. En utilisant 𝑎 et 𝑏 comme coordonnées 𝑥 de ces points d’intersection, nous pouvons voir l’aire entre chacune des courbes et l’axe des 𝑥 entre ces bornes.
Nous avons nommé la première aire 𝐴 un et la deuxième aire 𝐴 deux. Nous pouvons voir que soustraire 𝐴 deux de 𝐴 un donne l’aire de la région délimitée. Appelons l’aire de la région délimitée 𝐴 et gardons cette formule pour plus tard. Notre méthode consiste alors à trouver 𝐴 un ou l’aire entourée par la droite 𝑦 égal cinq 𝑥 et l’axe des 𝑥 entre les limites 𝑎 et 𝑏. Nous ferons ensuite la même chose pour 𝐴 deux et utiliserons la formule pour trouver l’aire de la région délimitée.
Nous pouvons remarquer que l’aire 𝐴 un est un trapèze et peut être trouvée en utilisant des méthodes géométriques. Pour cet exemple, nous allons choisir d’utiliser l’intégration pour trouver l’aire. Cependant, vous pouvez utiliser d’autres techniques si vous le souhaitez. Maintenant que nous comprenons notre objectif, cherchons les limites, petit 𝑎 et petit 𝑏. Nous pouvons le faire en trouvant les points d’intersection de la droite et de la parabole. Nous savons qu’en ces points, les valeurs de 𝑦 et de 𝑥 des deux équations seront les mêmes. Nous pouvons donc identifier les deux expressions de 𝑥.
Maintenant que nous avons posé une équation pour 𝑥, passons à la résolution, d’abord en développant les parenthèses du côté gauche. Maintenant, rassemblons les termes en 𝑥 sur le côté gauche. Pour la prochaine étape, nous allons factoriser cette équation. À ce stade, nous pourrions utiliser la formule quadratique. Cependant, il est également possible de factoriser directement. Un indice que nous pouvons utiliser est que 25 n’a que pour facteurs un, cinq et lui-même.
Nous trouvons que nous ne pouvons pas utiliser un et 25 et nous travaillons donc avec les cinq. Après quelques essais, nous pouvons trouver que l’équation se factorise en quatre 𝑥 moins cinq et 𝑥 moins cinq. Maintenant, nous avons une situation familière où deux facteurs multipliés entre eux sont égaux à zéro. Nous savons que pour que cette situation soit vraie, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Nous pouvons donc dire que quatre 𝑥 moins cinq est égal à zéro ou 𝑥 moins cinq est égal à zéro.
En résolvant ces deux cas, nous obtenons que 𝑥 est égal à cinq sur quatre ou 𝑥 est égal à cinq. Puisque nous n’avons pas besoin des valeurs de 𝑦 pour cette question, ces points peuvent maintenant être marqués sur le graphique. Enfin, nous sommes prêts à effectuer l’intégration en commençant par l’aire 𝐴 un. Il s’agit de l’aire délimitée par la droite 𝑦 égale cinq 𝑥 et l’axe des 𝑥 entre les limites de cinq sur quatre et cinq. Ici, nous voyons l’intégrale de cinq 𝑥 par rapport à 𝑥 entre nos limites.
En utilisant les règles d’intégration, cela donne cinq sur deux 𝑥 au carré entre les limites. Ensuite, nous avons éliminé un facteur cinq sur deux et saisi nos limites dans l’équation. Faisons maintenant le calcul, d’abord en mettant nos termes au carré et en simplifiant. Enfin, nous constatons que 𝐴 un est égal à 1875 sur 32. Mettons pour l’instant cette valeur de côté et trouvons 𝐴 deux.
Ici, nous avons écrit l’intégrale pour 𝐴 deux, qui est l’aire délimitée par la courbe 𝑦 égal deux 𝑥 moins cinq au carré et l’axe des 𝑥 entre les limites que nous avons trouvées, qui sont cinq sur quatre et cinq. Pour nous aider dans nos calculs, utilisons la forme développée de ces parenthèses que nous avons trouvée plus tôt. Ici, nous avons intégré notre fonction en augmentant la puissance de chaque terme de 𝑥 par un et en divisant par la nouvelle puissance.
Simplifions 20 sur deux en 10. Ensuite, nous allons exprimer 10 et 25 en facteurs de cinq. La raison pour laquelle nous faisons cela va devenir claire dans un instant. Nous sommes maintenant prêts à saisir nos limites dans l’équation. Ici, nous voyons l’équation complète avec nos limites marquées d’une couleur différente pour nous aider à garder une trace de ces nombres. Avec un peu d’observation, nous devrions être en mesure de voir que tous nos termes contiennent un facteur de cinq au cube.
Maintenant, il peut être un peu difficile de repérer cela au début, mais en supprimant le facteur de cinq au cube, nous obtenons une équation qui est légèrement plus facile à utiliser. Nous pouvons continuer à simplifier notre équation. Ainsi, notre réponse finit par se simplifier et nous trouvons que notre aire 𝐴 deux est égale à 375 sur 16. Nous sommes maintenant prêts à trouver l’aire délimitée totale en utilisant la formule que nous avons définie précédemment.
En prenant 𝐴 un, l’aire délimitée par la droite 𝑦 égal cinq 𝑥, et en soustrayant 𝐴 deux, l’aire délimitée par la courbe 𝑦 égal deux 𝑥 moins cinq au carré, nous trouvons que l’aire totale de notre région délimitée est de 1125 sur 32 unités au carré ou unités de surface.
