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𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où 𝐵𝐶 est égal à trois centimètres et 𝐴𝐵 est égal à quatre centimètres. Déterminez la longueur du segment 𝐴𝐶 et les mesures des angles 𝐴 et 𝐶 en donnannt votre réponse au degré près.
Nous commencerons par dessiner sommairement le triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶. On nous dit que le côté 𝐵𝐶 mesure trois centimètres de long et que le côté 𝐴𝐵 mesure quatre centimètres de long. La première partie de notre question consiste à trouver la longueur du segment 𝐴𝐶. Il s’agit de l’hypoténuse du triangle, car ce côté est opposé à l’angle droit.
Une façon de calculer la longueur de l’hypoténuse quand on nous donne la longueur des deux autres côtés d’un triangle rectangle consiste à utiliser le théorème de Pythagore. Il indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est la longueur de l’hypoténuse et 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des deux côtés plus courts. En substituant les valeurs de cette question, nous avons 𝐴𝐶 au carré est égal à trois au carré plus quatre au carré. Trois au carré est égal à neuf et quatre au carré est égal à 16. Nous pouvons alors prendre la racine carrée des deux côtés de notre équation. Puisque 𝐴𝐶 doit être positif, nous avons 𝐴𝐶 est égal à la racine carrée de neuf plus 16. Cela se simplifie en la racine carrée de 25, ce qui est égal à cinq. La longueur du segment 𝐴𝐶 est de cinq centimètres.
Il convient de noter que ce triangle est un exemple de triplet Pythagoricien. Par conséquent, nous pouvons simplement avoir rappelé que tout triangle avec des côtés de trois centimètres, de quatre centimètres et de cinq centimètres sera un triangle rectangle.
La prochaine partie de cette question consiste à trouver les mesures des angles 𝐴 et 𝐶. Nous le ferons en utilisant notre connaissance de la trigonométrie dans un triangle rectangle et des rapports sinus, cosinus et tangente. Une façon de rappeler ces rapports est d’utiliser l’acronyme SOH CAH TOA, où sinus 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse, cosinus 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse et tangente 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent. Nous allons maintenant utiliser l’un de ces rapports pour nous aider à calculer la mesure de l’angle 𝐴. Le côté de notre triangle qui est opposé à cet angle est 𝐵𝐶 et le côté adjacent à l’angle est le côté 𝐴𝐵. Nous avons déjà noté le côté le plus long 𝐴𝐶 comme l’hypoténuse.
Puisque nous connaissons les trois longueurs, nous pouvons utiliser n’importe lequel des trois rapports. Dans cette question, nous choisirons d’utiliser le rapport tangent. La tangente de tout angle est égale à l’opposé sur l’adjacent. Donc, dans cette question, tangente 𝐴 est égal à trois sur quatre, ou trois quarts. Pour trouver 𝐴, nous prenons la tangente réciproque des deux côtés telle que 𝐴 est égal à la tangente réciproque des trois quarts. En nous assurant que notre calculatrice est en mode degré, nous pouvons taper cela, nous donnant une réponse de 36.8698 etc. On nous demande de donner notre réponse au degré près, donc cela donne 37 degrés. La mesure de l’angle 𝐴 est de 37 degrés.
Afin de calculer la mesure de l’angle 𝐶, nous pourrions utiliser à nouveau l’un de nos rapports trigonométriques. Cependant, il est important de noter que la longueur du côté 𝐴𝐵 est maintenant le côté opposé, car il est oppose à l’angle 𝐶. De la même manière, le côté 𝐵𝐶 est maintenant le côté adjacent. Encore une fois, nous pourrions utiliser l’un des trois rapports. En utilisant le rapport tangente, nous avons tangente 𝐶 est égal à quatre sur trois. En prenant la tangente réciproque des deux côtés, 𝐶 est égal à la tangente réciproque de quatre tiers. Arrondi au degré près, cela donne 53 degrés. La mesure de l’angle 𝐶 est égale à 53 degrés. À ce stade, il convient de vérifier que la somme de nos trois angles est de 180 degrés, puisque cela doit être vrai pour trois angles dans un triangle.
Les trois réponses à cette question sont la longueur du segment 𝐴𝐶 est égal à cinq centimètres, la mesure de l’angle 𝐴 est de 37 degrés et la mesure de l’angle 𝐶 est de 53 degrés.
