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Vidéo de question : Déterminer le volume du solide généré par la révolution de la région délimitée par les courbes des fonctions sinus et cosinus autour d’une droite parallèle à l’axe des 𝑥

Calculez le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par les courbes d'équations 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥, 𝑥 = 𝜋/6 et 𝑥 = 𝜋/4 autour de 𝑦 = −1. Donnez votre réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Calculez le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par les courbes d'équations 𝑦 égal sinus 𝑥, 𝑦 égal cosinus 𝑥, 𝑥 égal 𝜋 sur six et 𝑥 égal 𝜋 sur quatre autour de 𝑦 égal moins un. Donnez votre réponse au centième près.

On nous dit que les fonctions 𝑦 égale sinus 𝑥 et 𝑦 égale cosinus 𝑥 forment les bornes d’une région également délimitée par les droites 𝑥 égale 𝜋 sur six et 𝑥 égale 𝜋 sur quatre. Et on nous demande de trouver le volume du solide obtenu par rotation de la région délimitée autour de la droite 𝑦 égale moins un.

Il nous sera utile de dessiner ce solide. Il s’agit en fait d’un anneau, où les sections transversales de la bande sont en forme de coin. Maintenant, pour trouver le volume de ce solide, nous additionnons en en utilisant l’intégration les aires de toutes ses sections verticales. Les sections transversales sont en fait des rondelles circulaires. C’est là où le bord extérieur est délimité par cosinus 𝑥 et le bord intérieur par sinus 𝑥. Et pour trouver l’aire de ces sections transversales, puisque l’aire d’un cercle est 𝜋 fois le rayon carré, en posant 𝑅 indice O, c’est 𝑅 extérieur, soit le rayon du cercle extérieur et 𝑅 indice I, c’est 𝑅 intérieur, soit le rayon du cercle intérieur, alors l’aire d’un disque en coupe transversale 𝐴 indice D est égale à 𝜋 fois 𝑅 carré extérieur moins 𝜋 fois 𝑅 carré intérieur. Et bien sûr, nous pouvons sortir le facteur commun de 𝜋 de certaines parenthèses.

Rappelons-nous que le centre de notre rotation est à 𝑦 égal moins un, donc le rayon extérieur, 𝑅 indice O, est la distance du centre de rotation à la ligne 𝑦 égale zéro, c’est-à-dire l’axe des 𝑥, elle est égale à un, plus cosinus 𝑥 pour la valeur donnée de 𝑥. Et donc le rayon extérieur vaut un plus cosinus 𝑥. Et de même, le rayon intérieur, 𝑅 I, est la distance du centre de rotation à la droite 𝑦 égale zéro, c’est-à-dire un plus sinus 𝑥. Et cela signifie que le rayon intérieur, 𝑅 I, vaut un plus sinus 𝑥. Et donc l’aire d’un disque en coupe est donnée par 𝜋 multiplié par un plus cosinus 𝑥 carré moins un plus sinus 𝑥 carré.

En développant les parenthèses, nous voyons que les uns disparaissent. Et nous avons 𝜋 multiplié par cosinus carré 𝑥 moins sinus carré 𝑥 plus deux cosinus 𝑥 moins deux sinus 𝑥. En se rappelant des identités trigonométriques qui disent que cosinus carré 𝑥 moins sinus carré 𝑥 est égal au cosinus deux 𝑥, nous avons l’aire d’un disque en coupe transversale qui est alors 𝜋 multiplié par cosinus deux 𝑥 plus deux cosinus 𝑥 moins deux sinus 𝑥.

Faisons de la place et ainsi, pour trouver le volume de notre solide, nous intégrons l’aire de ces disques par rapport à 𝑥 entre nos bornes de 𝑥. C’est là que la borne inférieure est 𝜋 sur six et la borne supérieure est 𝜋 sur quatre. Nous prenons donc la somme des aires d’une infinité de disques en coupe transversale délimitée par les deux fonctions cosinus 𝑥 et sinus 𝑥 et entre 𝜋 sur six et 𝜋 sur quatre. Par la propriété additive des intégrales, nous pouvons diviser notre intégrale en trois. Et nous pouvons mettre les facteurs constants de 𝜋 et deux 𝜋 devant. Et nous avons trois intégrales définies que nous savons évaluer.

Dans notre première intégrale, nous utiliserons le fait que si 𝑢 est égal à 𝑎𝑥, alors l’intégrale de la fonction 𝑓 de 𝑢 par rapport à 𝑥 est donnée par un sur 𝑎 fois l’intégrale de 𝑓 de 𝑢 par rapport à 𝑢. Dans notre cas, 𝑓 de 𝑢 est égal au cosinus deux 𝑥, où 𝑎 est égal à deux. Pour le premier terme, nous avons 𝜋 multiplié par un sur deux fois sinus deux 𝑥 évalué entre 𝜋 sur quatre et 𝜋 sur six. Nous utilisons le fait que l’intégrale définie du cosinus 𝑥 entre 𝑎 et 𝑏 par rapport à 𝑥 est sinus 𝑥 évalué entre 𝑎 et 𝑏. La deuxième intégrale est alors deux 𝜋 multiplié par sinus 𝑥 évalué entre 𝜋 sur quatre et 𝜋 sur six. Et enfin, pour le troisième terme, nous utilisons le fait que l’intégrale de sinus 𝑥 est moins cosinus 𝑥. La troisième intégrale est donc moins deux 𝜋 multiplié par cosinus moins 𝑥 évalué entre 𝜋 sur quatre et 𝜋 sur six.

Maintenant, puisque les bornes de l’intégration étaient les mêmes pour chaque terme, nous pouvons tout rassembler et faire sortir un facteur 𝜋 sur deux de certaines parenthèses, de sorte à ce que le volume soit 𝜋 sur deux multiplié par sinus deux 𝑥 plus quatre fois sinus 𝑥 plus quatre fois cosinus 𝑥 tous évalués entre 𝜋 sur quatre et 𝜋 sur six. Et maintenant en faisant un peu d’espace et en réécrivant, nous pouvons remplacer par nos bornes et faire des simplifications pour que le premier terme du premier ensemble de parenthèses soit sinus 𝜋 sur deux et le premier terme du deuxième ensemble de parenthèses soit sinus 𝜋 plus de trois.

Et maintenant, en évaluant les sinus et cosinus, sinus 𝜋 sur deux est égal à un. Sinus 𝜋 sur quatre est égal à la racine deux sur deux, tout comme cosinus 𝜋 sur quatre. Sinus 𝜋 sur trois est racine trois sur deux, et sinus 𝜋 sur six est un demi. Et cosinus 𝜋 sur six vaut racine de trois sur deux. Alors maintenant, nous voyons que certains de nos deux s’annulent. Et nous avons 𝜋 sur deux multiplié par un plus quatre fois la racine carrée de deux moins cinq racine de trois sur deux plus deux. Et encore une fois, en faisant de l’espace, nous avons que le volume est 𝜋 sur deux multiplié par moins un plus quatre fois la racine carrée de deux moins cinq fois racine de trois sur deux.

En évaluant l’intérieur des parenthèses à cinq chiffres décimaux près, nous avons 𝜋 sur deux multiplié par 0,32673. C’est-à-dire 0,51 aux centièmes près. Et nous trouvons donc que le volume du solide obtenu par rotation de la région délimitée par les courbes 𝑦 égale sinus 𝑥, 𝑦 égale cosinus 𝑥, 𝑥 égale 𝜋 sur six et 𝑥 égale 𝜋 sur quatre autour de la droite 𝑦 égale moins un est 0,51 unité au cube aux centièmes près.

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