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Vidéo de question : Détermination de la dérivée seconde d’une fonction définie par des équations paramétriques avec la règle de dérivation en chaîne Mathématiques

Étant données 𝑥 = 2𝑒^(2𝑡) et 𝑦 = 𝑡𝑒^(- 2𝑡), déterminez d²𝑦/d𝑥².

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Transcription de vidéo

Étant donné que 𝑥 est égal à deux fois 𝑒 à la puissance deux 𝑡 et que 𝑦 est égal à 𝑡 fois 𝑒 à la puissance moins deux 𝑡, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

L’énoncé nous donne une paire d’équations paramétriques et nous demande de trouver la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous pourrions donc être tentés d’essayer d’abord de les écrire sous une forme cartésienne. Cependant, cela n’est pas nécessaire car nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne.

Nous rappelons que la règle de dérivation en chaîne énonce que nous pouvons calculer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 en dérivant d’abord 𝑦 par rapport à 𝑡, puis en multipliant cela par la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥. Cela signifie que nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour trouver la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Nous commençons par trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡, qui est égale à la dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑡 fois 𝑒 puissance moins deux 𝑡. Rappelons que la règle du produit pour la dérivation dit que la dérivée par rapport à 𝑡 du produit de deux fonctions 𝑓 et 𝑔, est égale à la dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑓 multiplié par 𝑔 plus la dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑔 multiplié par 𝑓. Cela nous donne que la dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑡 fois 𝑒 de moins deux 𝑡 est égale à la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑡 multiplié par 𝑒 de moins deux 𝑡 plus la dérivée de 𝑒 de moins deux 𝑡 multiplié par 𝑡.

Nous savons que la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑡 est égale à un. Et nous savons aussi que la dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑒 de 𝑘𝑡 est égale à 𝑘 multiplié par 𝑒 de 𝑘𝑡. Donc, la dérivée de 𝑒 de moins deux 𝑡 est égale à moins deux fois 𝑒 de moins deux 𝑡. Ce qui nous donne que d𝑦 sur d𝑡 est égal à 𝑒 de moins deux 𝑡 moins deux 𝑡 multiplié par 𝑒 de moins deux 𝑡.

Et à ce stade, nous pouvons également factoriser par 𝑒 de moins deux 𝑡 pour donner 𝑒 de moins deux 𝑡 multiplié par un moins deux 𝑡. Puisque nous avons maintenant trouvé une expression pour d𝑦 sur d𝑡, d’après la règle de dérivation en chaîne, nous devons maintenant trouver une expression pour d𝑡 sur d𝑥.

Cependant, il sera difficile de trouver directement une valeur pour d𝑡 sur d𝑥 puisque 𝑥 est une fonction de 𝑡. Nous aurions besoin de réorganiser notre équation en 𝑥 pour avoir 𝑡 en fonction de 𝑥. Cependant, nous pouvons utiliser le fait que d𝑡 sur d𝑥 est l’inverse de d𝑥 sur d𝑡 et d’abord trouver la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡, puis l’utiliser pour trouver la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥.

On a que la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡 est égale à la dérivée par rapport à 𝑡 de deux fois 𝑒 puissance deux 𝑡, que nous pouvons évaluer pour nous donner quatre fois 𝑒 puissance deux 𝑡. Nous prenons ensuite l’inverse de cela et voyons que un divisé par quatre multiplié par 𝑒 puissance deux 𝑡 est égal à la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥.

Nous sommes maintenant prêts à utiliser la règle de dérivation en chaîne, qui dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 multiplié par d𝑡 sur d𝑥. Nous avons montré précédemment que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡 est égale à 𝑒 de moins deux 𝑡 multiplié par un moins deux 𝑡. Et nous avons également montré que la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥 est égale à un divisé par quatre multiplié par 𝑒 puissance deux 𝑡. Si nous mettons 𝑒 puissance moins deux 𝑡 au dénominateur, nous obtenons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à un moins deux 𝑡 divisé par 𝑒 puissance deux 𝑡 multiplié par quatre 𝑒 puissance deux 𝑡.

Et enfin, nous pouvons simplifier cela pour trouver que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un moins deux 𝑡 divisé par quatre multiplié par 𝑒 puissance quatre 𝑡. Mais la question nous demande de trouver la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous savons que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est juste égale à la dérivée de la dérivée par rapport à 𝑥. Cependant, nous savons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est une fonction de 𝑡. Cela signifie qu’il sera difficile de dériver cela directement par rapport à 𝑥. Nous allons donc devoir utiliser à nouveau la règle de dérivation en chaîne.

Revenons donc à notre règle de dérivation en chaîne. Mais cette fois, au lieu de dériver 𝑦, nous allons dériver 𝑓, qui est la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous voyons que la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑡 multipliée par la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥. Puisque nous avons choisi notre fonction 𝑓 comme étant la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Nous avons 𝑓 comme une fonction de 𝑡. Nous pouvons donc calculer la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑡. Et nous avons calculé précédemment que la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥 est égale à un divisé par quatre multiplié par 𝑒 puissance deux 𝑡. Ce que cela signifie est que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée par rapport à 𝑡 de un moins deux 𝑡 sur quatre multiplié par 𝑒 puissance quatre 𝑡 multiplié par un divisé par quatre multiplié par 𝑒 puissance deux 𝑡. Et ce n’est qu’une application de la règle de dérivation en chaîne où, au lieu de dériver 𝑦, nous dérivons la fonction 𝑓, que nous avons définie comme étant égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Nous pouvons maintenant utiliser la règle du quotient, qui dit que la dérivée du quotient de 𝑢 et 𝑣 est égale à la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑡 multiplié par 𝑣 moins la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡 multiplié par 𝑢 le tout divisé par 𝑣 au carré. Cela signifie que si nous posons 𝑢 égal à un moins deux 𝑡 et 𝑣 égal à quatre multiplié par 𝑒 à la puissance quatre 𝑡, alors nous avons que la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑡 est égale à moins deux. Et la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡 est égale à 16 multiplié par 𝑒 à la puissance quatre 𝑡. Ce qui nous donne que la dérivée du quotient de 𝑢 et 𝑣 est égale à moins deux fois quatre 𝑒 puissance quatre 𝑡 moins 16 fois 𝑒 puissance quatre 𝑡 fois un moins deux 𝑡 le tout divisé par quatre 𝑒 puissance quatre 𝑡 le tout au carré.

Nous pouvons alors développer les parenthèses du numérateur et évaluer le carré du dénominateur pour obtenir moins huit multiplié par 𝑒 puissance quatre 𝑡 moins 16 𝑒 puissance quatre 𝑡 plus 32𝑡 𝑒 puissance quatre 𝑡 le tout divisé par 16𝑒 puissance huit 𝑡. Nous pouvons ensuite calculer les termes similaires au numérateur, puis réorganiser pour obtenir un nouveau numérateur de 32 multiplié par 𝑡 𝑒 puissance quatre 𝑡 moins 24𝑒 puissance quatre 𝑡.

Nous pouvons alors simplifier le facteur commun de huit multiplié par 𝑒 puissance quatre 𝑡 au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne quatre 𝑡 moins trois divisé par deux multiplié par 𝑒 à la puissance quatre 𝑡. Nous substituons ensuite cela dans la formule pour la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, que nous avons trouvée en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Ce qui nous donne que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à quatre 𝑡 moins trois divisé par deux 𝑒 puissance quatre 𝑡 le tout multiplié par un divisé par quatre 𝑒 puissance deux 𝑡. Ce que nous pouvons ensuite calculer pour obtenir que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à quatre 𝑡 moins trois divisé par huit multiplié par 𝑒 à la puissance six 𝑡.

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