Transcription de la vidéo
Déterminez la valeur de C 23 huit sur C 23 six sans utiliser la calculatrice.
Pour commencer, on va juste regarder la notation qu'on utilise. Qu'est-ce que ça veut dire ? Il s'agit du nombre de combinaisons différentes de six objets parmi 23 objets possibles. Voilà en quelque sorte de quoi on parle en regardant les combinaisons ici. Bon, maintenant, on va déterminer la valeur.
Il existe une formule générale pour nous aider. Alors, on peut dire que C 𝑛 𝑟 est égale à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Et il suffit de se rappeler qu'en fait, factorielle 𝑛 est le produit de tous les nombres entiers positifs inférieurs ou égaux à, dans ce cas, 𝑛 ou ce nombre. Par exemple, factorielle trois signifie trois fois deux fois un.
Très bien, on a donc notre notation. Nous avons notre formule. Allons-y et déterminons la valeur de C 23 huit sur C 23 six. On commence par calculer la valeur du numérateur, puis celle du dénominateur. Ce sera égal à factorielle 23 puisqu'il s'agit de notre valeur 𝑛 sur factorielle huit. Et ceci va être multipliée par factorielle 23 moins huit.
Simplifions un peu. On a donc factorielle 23 sur factorielle huit fois factorielle 15. En fait, on va laisser ça à ce niveau et on y reviendra quand on arrivera à l'étape finale pour déterminer la valeur de C 23 huit sur C 23 six.
Alors maintenant, nous avons C 23 six égale factorielle 23 sur factorielle six fois factorielle 23 moins factorielle six. Ainsi, cela sera égale à factorielle 23 sur factorielle six fois factorielle 17. Alors maintenant, nous avons les valeurs de chaque terme de notre expression. Allons-y et déterminons cette valeur.
Nous avons donc tout d'abord factorielle 23 sur factorielle huit fois factorielle 15, car il s'agit de C 23 huit. Ensuite, ceci sera divisé par factorielle 23 divisée par factorielle six fois factorielle 17 car ceci était notre C 23 six.
Alors nous avons en fait deux fractions ici. Donc, quand vous divisez des fractions, il s'agit en fait de trouver une fraction inverse. En fait, on échange le numérateur et le dénominateur et on multiplie. Ainsi, il s'agit donc de factorielle 23 fois factorielle six, fois factorielle 17, puisque c'était le dénominateur de notre C 23 six du début. Ensuite, tout ceci est divisé par factorielle huit fois factorielle 15 fois factorielle 23.
Comme on peut le voir ici, on peut simplifier par des valeurs communes, nous avons factorielle 23 au numérateur et au dénominateur. Donc on peut simplifier par factorielle 23. Ensuite, on peut examiner factorielle 17 sur factorielle 15, comme on peut le voir en haut, on a factorielle 17, soit 17 fois 16 fois 15 fois 14 et ainsi de suite. Au dénominateur, nous avons factorielle 15 qui est 15 fois 14 fois 13 et ainsi de suite. Ainsi, en divisant en haut et en bas par factorielle 15, il ne nous reste que 17 fois 16.
Maintenant, passons à notre dernière partie, qui sera factorielle six divisée par factorielle huit. En fait, il s'agit de six fois cinq fois quatre fois trois et ainsi de suite divisé par huit fois sept fois six fois cinq fois quatre et ainsi de suite. Par conséquent, on simplifie en haut et en bas par factorielle six, ce qui nous donne huit fois sept au dénominateur.
Comme nous avons maintenant 17 fois 16 sur huit fois sept, on peut résoudre le problème. Mais comme il est interdit d’utiliser la calculatrice, il est nécessaire d'effectuer une étape supplémentaire, ce qui simplifie les choses. On peut en effet diviser le numérateur et le dénominateur par huit. Ainsi, on obtient 17 fois deux divisé par un fois sept. Mais on se contente de dire sept. Il s'agit donc de 17 fois deux sur sept, ce qui nous donne notre réponse finale de 34 sur sept. Par conséquent, on peut affirmer que la valeur de C 23 huit sur C 23 six est 34 sur sept.
