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Vidéo de question : Déterminer le type de concavité d’une courbe paramétrique Mathématiques

On considère la courbe définie par les équations paramétriques 𝑥 = 1 + sec 𝜃 et 𝑦 = 1 + tan 𝜃. Déterminez si cette courbe est convexe, concave ou ni l’un ni l’autre en 𝜃 = 𝜋 / 6.

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Transcription de vidéo

On considère la courbe définie par les équations paramétriques 𝑥 égal un plus sécante de 𝜃 et 𝑦 égal un plus tangente 𝜃. Déterminez si cette courbe est convexe, concave ou ni l’un ni l’autre en 𝜃 égal 𝜋 sur six.

La question nous donne une courbe définie par une paire d’équations paramétriques où 𝑥 est une fonction de 𝜃 et 𝑦 est une fonction de 𝜃. Nous devons déterminer la concavité de cette courbe au point 𝜃 égal 𝜋 sur six. Commençons par rappeler ce que nous entendons par la concavité d’une courbe. La concavité d’une courbe nous indique si les tangentes à la courbe se trouvent au-dessus ou en dessous de la courbe.

En particulier, nous pouvons trouver cette information en utilisant la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous savons que si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est positif, alors la courbe est convexe en ce point. Nous savons également que si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est négatif, alors la courbe est concave en ce point. Ainsi, pour trouver la concavité de la courbe, il suffit de trouver une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Cependant, nous ne pouvons pas le faire directement car on nous donne une courbe paramétrique. Nous allons donc devoir rappeler certaines des règles pour dériver les courbes paramétriques.

Tout d’abord, nous rappelons que nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Si 𝑦 est une fonction de 𝜃 et 𝑥 est une fonction de 𝜃, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Cela n’est valable que lorsque le dénominateur d𝑥 sur d𝜃 n’est pas égal à zéro. Cependant, nous voulons trouver une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Ainsi, nous devons encore dériver cela par rapport à 𝑥. Nous pouvons le faire à nouveau en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Nous obtenons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃.

Bien sûr, nous avons toujours besoin que le dénominateur d𝑥 sur d𝜃 ne soit pas égal à zéro. Ainsi, pour trouver une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré de cette courbe paramétrique, nous devons trouver d𝑦 sur d𝑥. Pour cela, nous devons trouver d𝑦 sur d𝜃 et d𝑥 sur d𝜃. 𝑥 et 𝑦 sont déjà donnés en fonction de 𝜃, nous pouvons donc les dériver par rapport à 𝜃.

Commençons par trouver d𝑥 sur d𝜃. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝜃 de un plus sécante de 𝜃. Pour ce faire, rappelons l’un de nos résultats sur les dérivées standard pour les fonctions trigonométriques. La dérivée de sécante de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à sécante de 𝜃 fois tangente de 𝜃. Ainsi, puisque que la dérivée de la constante un est égale à zéro, nous obtenons d𝑥 sur d𝜃 égal sécante de 𝜃 fois tangente de 𝜃.

Nous pouvons maintenant faire la même chose pour trouver une expression pour d𝑦 sur d𝜃. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝜃 de un plus tangente de 𝜃. Encore une fois, nous devons utiliser l’un de nos résultats des dérivées standard pour les fonctions trigonométriques. La dérivée de tangente 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à sécante au carré de 𝜃. Ainsi, cela nous donne que d𝑦 sur d𝜃 est égal à sécante au carré de 𝜃. Maintenant que nous avons trouvé des expressions pour d𝑦 sur d𝜃 et d𝑥 sur d𝜃, nous pouvons utiliser la formule pour trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥.

Nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 est égal à sécante au carré de 𝜃 divisé par sécante de 𝜃 fois tangente de 𝜃. Rappelez-vous, pour trouver d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, nous devons dériver cette expression par rapport à 𝜃. Nous devons donc mettre cela sous une forme facile à dériver. Pour commencer, nous allons annuler le facteur commun de sécante de 𝜃 au numérateur et au dénominateur. Cependant, nous avons encore le quotient de deux fonctions. Nous pourrions dériver cela en utilisant la règle du quotient. Cependant, nous pouvons simplifier cela davantage pour le rendre encore plus facile à dériver.

Pour nous aider, nous devons rappeler deux des identités trigonométriques. La sécante de 𝜃 est égale à un divisé par le cosinus de 𝜃 et tangente de 𝜃 est égal au sinus de 𝜃 divisé par cosinus de 𝜃. En utilisant ces identités trigonométriques, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égal un sur cosinus 𝜃 le tout divisé par sinus 𝜃 divisé par cosinus 𝜃. Soit en utilisant les règles pour réorganiser les fractions, soit en multipliant le numérateur et le dénominateur par cosinus de 𝜃, nous pouvons simplifier cela et obtenir un divisé par sinus de 𝜃.

Bien sûr, nous savons que un divisé par sinus de 𝜃 est équivalent à la cosécante de 𝜃. Il est important de noter que nous obtenons une fonction beaucoup plus facile à dériver que la sécante de 𝜃 divisé par tangente de 𝜃. Nous sommes maintenant presque prêts à trouver l’expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Commençons par trouver une expression pour le numérateur. Il s’agit de la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃. Nous avons déjà montré que d𝑦 sur d𝑥 est égal à cosécante de 𝜃. Ainsi, nous devons dériver la cosécante de 𝜃 par rapport à 𝜃.

Ceci est un résultat trigonométrique standard. Nous savons que la dérivée de cosécante de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à moins la cotangente de 𝜃 fois la cosécante de 𝜃. Nous avons donc trouvé une expression pour le numérateur de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Nous avons obtenu moins cotangente de 𝜃 fois cosécante de 𝜃. Maintenant, tout ce que nous devons faire est de diviser cela par d𝑥 sur d𝜃. Nous avons déjà trouvé d𝑥 sur d𝜃. Nous avons obtenu que cela était égal à la sécante de 𝜃 fois tangente de 𝜃.

Ainsi, en utilisant notre formule, nous obtenons d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à moins cotangente de 𝜃 fois cosécante de 𝜃 divisé par sécante de 𝜃 multiplié par tangente de 𝜃. Maintenant, il y a plusieurs façons de procéder avec cette question. Par exemple, il suffit de trouver la concavité de notre courbe au point où 𝜃 égal 𝜋 sur six. Ainsi, à ce stade, nous pourrions simplement substituer cette valeur dans notre expression. Cependant, nous allons d’abord simplifier cette expression.

Tout d’abord, nous allons utiliser le fait que multiplier par cotangente de 𝜃 est la même chose que de diviser par tangente de 𝜃. Ainsi, nous allons supprimer cotangente de 𝜃 du numérateur, puis mettre le tangente de 𝜃 du dénominateur au carré. Maintenant, nous voulons simplifier cosécante de 𝜃 divisé par sécante de 𝜃. Nous savons que nous pouvons réécrire ceci comme un sur sinus de 𝜃 divisé par un sur cosinus de 𝜃. Ainsi, nous pouvons alors simplifier cela en multipliant le numérateur et le dénominateur par cosinus de 𝜃.

Dans notre dénominateur, nous pouvons simplifier le cosinus de 𝜃 divisé par cosinus de 𝜃 pour donner un. Au numérateur, nous obtenons cosinus de 𝜃 divisé par sinus de 𝜃, mais cela équivaut également à un divisé par tangente de 𝜃. Ainsi, en utilisant cela, nous pouvons réécrire d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré comme moins un divisé par tangente au cube de 𝜃. Maintenant, il est facile de substituer la valeur de 𝜃 égal 𝜋 sur six dans cette expression.

Ce faisant, nous obtenons d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré de 𝜃 égal 𝜋 sur six est égal à moins un divisé par tangente au cube de 𝜋 sur six. Si nous évaluons cette expression, nous obtenons moins trois fois la racine carrée de trois. Ainsi, nous avons montré que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est négative lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six. Par conséquent, la courbe doit être concave lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six. Par conséquent, nous avons travaillé sur la courbe paramétrique 𝑥 égal un plus sécante de 𝜃 et 𝑦 égal un plus tangente de 𝜃. Nous avons pu montrer que cette courbe est concave lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.

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