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Vidéo de question : Déterminer si un quadrilatère donné est un parallélogramme ou non selon les coordonnées de ses sommets en utilisant la formule de la distance Mathématiques

On considère le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 qui a pour sommets 𝐴 (−2 ; 4), 𝐵 (−4 ; 4), 𝐶 (−1 ; −5) et 𝐷 (1 ; −5). En utilisant la formule de la distance, déterminez si le quadrilatère est un parallélogramme.

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Transcription de vidéo

On considère le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 qui a pour sommets 𝐴 : moins deux, quatre ; 𝐵 : moins quatre, quatre ; 𝐶 : moins un, moins cinq ; et 𝐷 : un, moins cinq. En utilisant la formule de la distance, déterminez si le quadrilatère est un parallélogramme.

Nous avons donc les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère et il nous est demandé de déterminer s’il s’agit d’un parallélogramme en utilisant la formule de la distance. La formule de la distance nous permet de calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé.

Si ces points ont pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors la distance entre eux est la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. Nous pouvons donc appliquer la formule de la distance afin de calculer les longueurs des quatre côtés du quadrilatère. Mais comment cela nous aidera-t-il à déterminer s’il s’agit d’un parallélogramme ?

Eh bien, une propriété clé à propos des parallélogrammes est que chaque deux côtés opposés sont de même longueur. Ainsi, en examinant si les côtés opposés ont la même longueur, nous pouvons déterminer si ce quadrilatère est un parallélogramme.

Il y a donc quatre longueurs que nous devons calculer. Commençons par le côté 𝐴𝐵. La formule de la distance donne moins quatre moins moins deux au carré plus quatre moins quatre au carré. Cela donne racine carrée de moins deux au carré, ce qui est la racine carrée de quatre, qui vaut exactement deux. Nous avons donc trouvé la première longueur. 𝐴𝐵 est égal à deux.

Ensuite, considérons le côté 𝐵𝐶. La formule de la distance donne racine carrée de moins un moins moins quatre le tout au carré plus moins cinq moins quatre le tout au carré. Cela donne racine carrée de trois au carré plus moins neuf au carré. Trois au carré vaut neuf. Et moins neuf au carré vaut 81. Nous avons donc la racine carrée de 90, qui se simplifie pour donner trois racine de 10.

Ensuite, nous appliquons la formule de la distance pour le côté 𝐶𝐷. Nous avons la racine carrée de un moins moins un le tout au carré plus moins cinq moins moins cinq au carré. Cela se simplifie en racine carrée de deux au carré, ce qui vaut racine carrée de quatre, qui vaut simplement deux.

Nous pouvons voir à ce stade que nous avons au moins deux côtés opposés qui sont de même longueur. 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 ont pour longueur, tous deux, deux. Cela ne signifie pas que le quadrilatère est un parallélogramme car si seule deux côtés opposés sont de même longueur cela signifierait qu’il s’agit d’un quadrilatère possédant deux côtés de même longueur.

Nous devons calculer la dernière longueur. La longueur 𝐷𝐴 vaut moins deux moins un au carré plus quatre moins moins cinq au carré. Cela équivaut à la racine carrée de moins trois au carré plus neuf au carré. Le moins trois au carré vaut neuf. Et neuf au carré vaut 81. Nous avons donc la racine carrée de 90, qui se simplifie par trois racine de 10.

Alors maintenant, nous pouvons voir que nous avons une deuxième paire de côtés opposés de même longueur. 𝐵𝐶 et 𝐷𝐴 sont tous deux égaux à trois racine de 10. Donc, comme nous avons montré que ce quadrilatère possède chaque deux côtés opposés de même longueur, nous pouvons conclure que oui, il s’agit d’un parallélogramme.

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