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Vidéo de question : Déterminer l’aire latérale d’un cône dans un contexte réel Mathématiques

Une montagne conique a un rayon de 1,5 km et une hauteur de 0,5 km. Calculez l’aire latérale de la montagne au dixième près.

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Transcription de vidéo

Une montagne conique a un rayon de 1,5 kilomètre et une hauteur de 0,5 kilomètre. Déterminez l’aire latérale de la montagne au dixième près.

Commençons par faire un schéma de cette montagne, dont on nous dit qu’elle est conique, elle a donc une forme de cône. On nous dit qu’elle a un rayon de 1,5 kilomètre, il s’agit donc du rayon de sa base circulaire et elle a une hauteur perpendiculaire de 0,5 kilomètre. Ainsi, la montagne ressemble à quelque chose comme cela. On nous demande de déterminer l’aire latérale de la montagne, qui est l’aire de la surface courbée du cône. Nous pouvons rappeler que la formule de l’aire latérale d’un cône est 𝜋𝑟𝑙, où 𝑟 représente le rayon du cône et 𝑙 représente sa hauteur oblique. Il s’agit de la distance entre le sommet du cône et tout point de la circonférence de la base. Sur notre figure, il s’agit de cette distance ici, qui n’a pas été donnée.

Nous pouvons résoudre ce problème si nous rappelons que le rayon de base, la hauteur perpendiculaire et la hauteur oblique d’un cône forment un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Dans ce triangle, l’hypoténuse est le côté marqué 𝑙 kilomètres et les deux côtés les plus courts sont de longueurs 1.5 et 0.5 kilomètres. Nous avons donc l’équation 𝑙 au carré est égal à 1.5 au carré plus 0.5 au carré.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la hauteur oblique du cône. En évaluant d’abord chacun des carrés, nous avons 𝑙 au carré est égal à 2.25 plus 0.25, ce qui se simplifie en 2.5. Pour résoudre 𝑙, nous devons trouver la racine carrée de chaque côté de l’équation, en ne prenant que la valeur positive car 𝑙 est une longueur. Nous avons alors que 𝑙 est égal à la racine carrée de 2.5. Maintenant, cela donne approximativement 1.58. Cependant, comme nous voulons utiliser cette valeur de 𝑙 dans la prochaine étape de notre travail, nous la conserverons sous cette forme exacte.

Nous revenons maintenant à notre formule pour l’aire latérale d’un cône et nous substituons 1.5 au rayon de base et la racine carrée de 2.5 à la valeur de la hauteur oblique. L’évaluation de cela sur une calculatrice donne 7.450 etc. La question précise que nous devons donner notre réponse à une décimale près. Puisque le chiffre de la deuxième décimale est un cinq, nous arrondissons à 7.5. Puisque les unités des longueurs indiquées dans cette question étaient les kilomètres, les unités de l’aire seront les kilomètres carrés.

Ainsi, en appliquant d’abord le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur oblique de ce cône, puis en réutilisant la formule de l’aire latérale d’un cône, nous avons constaté que l’aire latérale de cette montagne à une décimale est de 7,5 kilomètres carrés.

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