Transcription de la vidéo
Étant donné que 𝑥 est égal à trois exponentielle de cinq 𝑡 et 𝑦 est égal à 𝑡 fois exponentielle de moins cinq 𝑡, trouvez d𝑦 sur d𝑥.
Dans cette question, on nous donne une paire d’équations paramétriques. Ce sont des équations pour 𝑥 et 𝑦 en fonction d’un troisième paramètre, ici, 𝑡. On nous demande de dériver 𝑦 par rapport à 𝑥. Et on rappelle donc que si d𝑦 sur d𝑡 n’est pas égal à zéro, d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 par d𝑡. Et on peut donc voir que nous allons devoir dériver l’équation pour 𝑥 par rapport à 𝑡 ainsi que l’équation pour 𝑦 par rapport à 𝑡.
Nous allons commencer par dériver 𝑥 par rapport à 𝑡. Alors, 𝑥 est égal à trois exponentielle de cinq 𝑡. Et nous savons que lorsqu’on dérive exponentielle de 𝑎𝑥, où 𝑎 est une valeur constante, on obtient 𝑎 fois exponentielle de 𝑎𝑥. Eh bien, dans ce cas, nous dérivons trois exponentielle de cinq 𝑡. On multiplie donc tout le terme par le coefficient de 𝑡, qui est cinq. Et nous voyons que d𝑥 sur d𝑡 vaut cinq fois trois exponentielle de cinq 𝑡, qui est égal à 15 exponentielle de cinq 𝑡.
Ensuite, nous devons dériver 𝑦 par rapport à 𝑡. Mais nous voyons que 𝑦 est le produit de deux fonctions dérivables. C’est 𝑡 fois exponentielle de moins cinq 𝑡. Et donc nous allons utiliser la règle du produit. Cela dit que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Or, nos deux fonctions sont 𝑡 et exponentielle de moins cinq 𝑡. Donc, d𝑦 sur d𝑡 est 𝑡 fois la dérivée par rapport à 𝑡 d’exponentielle de moins cinq 𝑡 plus exponentielle de moins cinq 𝑡 fois la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑡.
Maintenant, on sait que la dérivée d’exponentielle de moins cinq 𝑡 est égale à moins cinq exponentielle de moins cinq 𝑡. Et la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑡 est simplement un. Donc, d𝑦 sur d𝑡 est 𝑡 fois moins cinq exponentielle de moins cinq 𝑡 plus exponentielle de moins cinq 𝑡, ce qui se simplifie comme indiqué. d𝑦 par d𝑥 est le rapport des deux. C’est d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡. Donc, c’est moins cinq 𝑡 exponentielle de moins cinq 𝑡 plus exponentielle de moins cinq 𝑡 le tout sur 15 exponentielle de cinq 𝑡.
On remarque qu’exponentielle de moins cinq 𝑡 est la même chose que un sur exponentielle de cinq 𝑡, puis on factorise par un sur exponentielle de cinq 𝑡. On voit que l’on peut écrire ceci comme un sur exponentielle de cinq 𝑡 fois moins cinq 𝑡 plus un sur 15 exponentielle de cinq 𝑡. Mais bien sûr, on écrirait généralement cette deuxième fraction comme un moins cinq 𝑡 sur 15 exponentielle de cinq 𝑡. Or, lorsque nous multiplions deux nombres avec des puissances, nous ajoutons ces puissances. Donc exponentielle de cinq 𝑡 fois 15 exponentielle de cinq 𝑡 est 15 exponentielle de 10𝑡.
Et nous trouvons donc que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un moins cinq 𝑡 sur 15 exponentielle de 10𝑡.
