Transcription de la vidéo
Établissez l’intégrale donnant le volume du solide obtenu par rotation de la région délimitée par la courbe 𝑦 égal à 𝑒 puissance moins 𝑥 au carré et les droites 𝑦 égal zéro, 𝑥 égal moins cinq et 𝑥 égal cinq autour de la droite 𝑦 égal moins cinq.
Dans cette question, on nous donne une région délimitée par la courbe 𝑦 égal 𝑒 puissance moins 𝑥 au carré, la droite 𝑦 égal zéro et les deux droites verticales 𝑥 égal cinq et 𝑥 égal moins cinq. Et nous souhaitons établir une intégrale donnant le volume du solide obtenu par rotation de cette région autour de la droite 𝑦 égal moins cinq. Cela signifie que la droite 𝑦 égale moins cinq est l’axe de rotation.
Il peut être utile d’essayer de dessiner le solide dont nous cherchons le volume, mais notons que les deux dessins ont des échelles différentes. Alors, les sections transversales du solide formé par rotation de la région ressemblent à des rondelles, c’est-à-dire des disques creux. Ces sections transversales possèdent à la fois un rayon intérieur et un rayon extérieur. Appelons le rayon extérieur 𝑅 indice 𝑂 et le rayon intérieur 𝑅 indice 𝐼. Et rappelons maintenant que l’aire d’un cercle de rayon 𝑟 est égale à 𝜋𝑟 au carré, alors l’aire des disques creux de la section transversale 𝐴 indice 𝐷 est donnée par 𝜋 fois 𝑅 extérieur au carré moins 𝜋 fois 𝑅 intérieur au carré. Et en sortant 𝜋 des parenthèses, nous obtenons 𝜋 multiplié par 𝑅 extérieur au carré moins 𝑅 intérieur au carré.
Maintenant, si nous considérons le rayon extérieur de l’un des disques sur le dessin initial, le rayon extérieur correspond à la distance entre le centre de rotation, c’est-à-dire la droite 𝑦 égal moins cinq, et la fonction 𝑦 égale 𝑒 puissance moins 𝑥 au carré, c’est-à-dire 𝑒 puissance moins 𝑥 au carré plus cinq. Donc, le rayon extérieur varie en fonction de la valeur de 𝑥. Et rappelons que 𝑥 varie de moins cinq à cinq. Si nous considérons ensuite le rayon intérieur 𝑅 𝐼, c’est la distance entre la droite 𝑦 égal zéro et 𝑦 égal moins cinq, et ce qui fait cinq.
Maintenant, pour déterminer le volume de ce solide, nous allons faire la somme infinie des aires de tous les disques de section transversale comprise entre 𝑥 égal moins cinq et 𝑥 égal cinq. Autrement dit, le volume est égal à l’intégrale entre moins cinq et cinq de l’aire du disque en fonction de 𝑥. Et l’intégrale dépend de 𝑥 car l’axe de rotation est parallèle à l’axe des 𝑥. Et donc, pour le volume, nous intégrons 𝜋 multiplié par le rayon extérieur au carré moins le rayon intérieur au carré par rapport à 𝑥 entre moins cinq et cinq.
On nous demande d’établir l’intégrale donnant ce volume. Donc, tout ce qui nous reste à faire maintenant, c’est de déterminer le rayon extérieur au carré moins le rayon intérieur au carré. Et le rayon extérieur au carré est égal 𝑒 puissance moins 𝑥 carré plus cinq au carré, c’est-à-dire 𝑒 puissance moins deux 𝑥 au carré plus 10 multiplié par 𝑒 puissance moins 𝑥 au carré plus 25. Le rayon intérieur au carré est égal à cinq au carré, soit 25. Et donc nous avons le rayon extérieur au carré moins le rayon intérieur au carré égal à 𝑒 puissance moins deux 𝑥 carré plus 10𝑒 puissance moins 𝑥 au carré plus 25 moins 25. Et comme 25 moins 25 donne zéro, nous avons le rayon extérieur au carré moins le rayon intérieur au carré égal à 𝑒 puissance moins deux 𝑥 au carré plus 10𝑒 puissance moins 𝑥 au carré.
Alors, en faisant un peu de place, nous pouvons remplacer cela dans l’intégrale. Cela nous donne que le volume est égal à l’intégrale entre moins cinq et cinq de 𝜋 multiplié par 𝑒 puissance moins deux 𝑥 au carré plus 10𝑒 puissance moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Et comme nous pouvons sortir le facteur 𝜋 de l’intégrale, nous avons que le volume du solide obtenu par rotation de la région délimitée par la courbe 𝑦 égal 𝑒 puissance moins 𝑥 au carré et les droites 𝑦 égal à zéro, 𝑥 égal moins cinq, et 𝑥 égal cinq autour de la droite 𝑦 égal moins cinq est donné par 𝜋 multiplié par l’intégrale entre 𝑥 égal moins cinq et 𝑥 égal cinq de 𝑒 puissance moins deux 𝑥 au carré plus 10 multiplié par 𝑒 puissance moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.
