Vidéo question :: Déterminer une aire délimitée par des fonctions cubiques et linéaires Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez l’aire de la région délimitée par 𝑦 égal 𝑥 au cube et 𝑦 égal 𝑥.

Avant de pouvoir commencer à déterminer l’aire de cette région, nous devons voir à quoi elle ressemble. Pour cela, il nous faut tracer un graphique de ces deux courbes. Il y a donc 𝑦 égal 𝑥 au cube et 𝑦 égal 𝑥 sur un même repère. Nous savons à quoi chacune de ces courbes ressemble individuellement. 𝑦 égal 𝑥 au cube a une courbe représentative cubique simple et 𝑦 égal 𝑥 est une droite avec une pente positive. Cependant, nous devons également savoir comment ces deux courbes sont positionnées l’une par rapport à l’autre.

Pour voir cela, nous devons trouver les coordonnées 𝑥 des points d’intersection des deux courbes. Or, chaque courbe a été donné sous la forme d’une équation 𝑦 égal quelque chose. Ainsi, nous pouvons mettre les deux expressions pour 𝑦 égales entre elles ce qui donne une équation en 𝑥 seulement. Cela donne 𝑥 au cube égal 𝑥. Nous pouvons alors soustraire 𝑥 de chaque côté de l’équation, donnant 𝑥 au cube moins 𝑥 égal zéro. Pour résoudre cette équation, nous devons factoriser par 𝑥. Cela donne 𝑥 multiplié par 𝑥 au carré moins un égal zéro. En fait, nous pouvons aller plus loin parce que le deuxième facteur 𝑥 au carré moins un est une différence de deux carrés. Ainsi, cela peut être factorisé comme 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 plus un.

L’équation est donc devenue 𝑥 multiplié par 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 plus un égal zéro. Pour résoudre cela, nous devons prendre chaque facteur séparément, le mettre égal à zéro et résoudre l’équation linéaire résultante. Nous avons d’abord 𝑥 égal à zéro, puis 𝑥 moins un égal à zéro, ce qui conduit à 𝑥 égal un, et, enfin, 𝑥 plus un égal à zéro, ce qui conduit à 𝑥 égal à moins un. Ainsi, nous constatons que ces deux courbes se croisent en trois endroits avec des coordonnées 𝑥 de zéro, un et moins un.

Il convient de mentionner ici qu’il est vraiment important de résoudre cette équation en factorisant d’abord par 𝑥. Surtout, on ne divise pas l’équation par 𝑥 pour donner 𝑥 au carré moins un égal zéro. Si nous avions fait cela, alors les seules solutions seraient 𝑥 égal à plus et moins un. Nous aurions perdu la solution 𝑥 est égal à zéro. Gardez cela en tête. Nous ne divisons pas par 𝑥. Nous factorisons par 𝑥 si cela est possible. Ainsi, nous nous assurons de ne pas perdre de solution.

Maintenant que nous connaissons les coordonnées 𝑥 des trois points d’intersection de ces deux courbes, nous pouvons les tracer sur un même repère. Traçons d’abord 𝑦 égal 𝑥 au cube. Ensuite, nous savons que la courbe 𝑦 égal 𝑥 doit couper cette courbe en trois endroits : lorsque 𝑥 égal moins un, lorsque 𝑥 égal zéro et lorsque 𝑥 égal un. Nous savons également que 𝑥 au cube sera supérieur à 𝑥 pour des valeurs de 𝑥 supérieures à un. Ainsi, la courbe de 𝑦 égal 𝑥 au cube sera au-dessus de la courbe de 𝑦 égal 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur à un. Nous ajoutons donc la droite 𝑦 égal 𝑥 à notre graphique.

Maintenant, nous pouvons voir l’aire de la région recherchée. Il s’agit de l’aire de la région entourée par les deux courbes. Soit la zone qui est maintenant hachurée en vert. Remarquez que cette zone est composée de deux régions distinctes. Ce qui est différent, c’est que dans la région un, la courbe de 𝑦 égal 𝑥 au cube se trouve au-dessus de la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥. Au contraire, dans la région deux, la courbe de 𝑦 égal 𝑥 se situe au-dessus de la courbe de 𝑦 égal 𝑥 au cube. Considérons d’abord la région deux. Nous savons que pour trouver l’aire comprise entre une droite et une courbe, nous pouvons utiliser l’intégration. Nous devons alors soustraire l’équation de la courbe du dessous à l’équation de la courbe du dessus.

Dans ce cas, 𝑦 égal 𝑥 est la courbe du dessus ou la droite du dessus. Ainsi, nous avons l’intégrale de 𝑥 moins 𝑥 au cube par rapport à 𝑥. Les limites de cette intégrale sont les valeurs de 𝑥 où les deux courbes ou la courbe et la droite se croisent. Les limites seront donc zéro et un. Nous avons que l’aire de la région deux est donnée par l’intégrale par rapport à 𝑥 allant de zéro à un de 𝑥 moins 𝑥 au cube. Nous pouvons trouver l’aire de la région un de la même manière. Cette fois, les limites vont être moins un et zéro. De plus, la courbe de 𝑥 au cube est au-dessus de la courbe de 𝑥. Nous avons donc l’intégrale par rapport à 𝑥 de moins un à zéro de 𝑥 cube moins 𝑥.

Trouvons d’abord l’intégrale deux. On rappelle que pour intégrer des puissances de 𝑥 non égales à moins un, nous augmentons la puissance d’une unité, puis nous divisons par la nouvelle puissance. Nous avons donc que l’intégrale est égale à 𝑥 au carré sur deux moins 𝑥 à la puissance quatre sur quatre évaluée entre zéro et un. Maintenant, tout cela sera égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, en remplaçant les limites, nous avons simplement un au carré sur deux moins un à la puissance quatre sur quatre, ce qui vaut un demi moins un quart, qui se simplifie pour donner un quart. Nous avons donc trouvé l’aire de la région deux.

Nous pouvons aussi trouver l’aire de la région un. En évaluant l’intégrale, cette fois nous avons 𝑥 à la puissance quatre sur quatre moins 𝑥 au carré sur deux évalué entre moins un et zéro. Cela donne zéro lorsque 𝑥 est remplacé par zéro. Nous avons donc zéro moins moins un puissance quatre sur quatre moins moins un au carré sur deux. Cela vaut zéro moins un quart moins un demi ou zéro moins moins un quart, ce qui vaut un quart. Ainsi, nous constatons que l’aire de la région un est la même que l’aire de la région deux.

En fait, nous aurions pu utiliser la symétrie de rotation des courbes de 𝑦 égal à 𝑥 et de 𝑦 égal à 𝑥 au cube pour prédire cela. Ainsi, nous aurions pu simplement trouver l’aire de l’une de ces régions, puis la doubler afin de trouver l’aire totale. Sinon, nous pouvons simplement additionner les deux aires distinctes : un quart plus un quart, ce qui vaut un demi.

Ainsi, en utilisant une intégration, nous avons pu trouver que l’aire de la région délimitée par la courbe 𝑦 égal 𝑥 au cube et la droite 𝑦 égal 𝑥 vaut un demi.