Transcription de la vidéo
Une courbe passe par zéro, un et la
tangente en un point 𝑥, 𝑦 a une pente de six 𝑥 fois racine carrée de huit 𝑥 au
carré plus un. Quelle est l’équation de la courbe
?
L'essentiel pour répondre à cette
question est de constater que nous avons des informations sur la pente de la
tangente en un point donné. Nous nous souvenons que nous
pouvons trouver une équation générale pour la pente d’une tangente à la courbe en
déterminant la dérivée de l’équation de la courbe. En d’autres termes, dans ce cas,
d𝑦 sur d𝑥 est égal à six 𝑥 fois racine carrée de huit 𝑥 au carré plus un. Ou encore, nous pouvons écrire ceci
comme six 𝑥 fois huit 𝑥 au carré plus un à la puissance un demi.
Maintenant, en rappelant le fait
que l’intégration et la dérivation sont des processus inverses l’un de l’autre, nous
voyons que nous pouvons trouver une expression pour 𝑦 en intégrant l’expression
pour d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Et cela nous donnera une équation
générale. Nous devrons utiliser le fait que
la courbe passe par zéro, un pour trouver l’équation particulière de la courbe. Donc, nous allons intégrer six 𝑥
fois huit 𝑥 au carré plus un à la puissance un demi par rapport à 𝑥.
Maintenant, vous vous demandez
peut-être comment donc nous allons intégrer cette fonction. Eh bien, nous avons le produit de
deux fonctions, dont l’une est une fonction composée. Le point clé ici est de constater
que la dérivée d’une partie de la fonction composée est égale à un multiple scalaire
d’une autre partie de la fonction. En d’autres termes, la dérivée de
huit 𝑥 au carré plus un est un multiple de six 𝑥. C’est une bonne indication pour
nous que nous allons utiliser l’intégration par changement de variable. Nous allons faire la substitution
𝑢 est égal à huit 𝑥 au carré plus un. C’est la partie intérieure de la
fonction composée.
Ensuite, nous dérivons 𝑢 par
rapport à 𝑥, en nous rappelant que pour dériver un terme de puissance, nous
multiplions le terme entier par l’exposant puis réduisons l’exposant par un. Nous obtenons donc deux fois huit
𝑥 à la puissance un ou deux fois huit 𝑥, soit 16𝑥. Bien sûr, la dérivée de un est
zéro. Donc, d𝑢 sur d𝑥 est 16𝑥. En revanche, d𝑢 sur d𝑥 n’est pas
une fraction. Mais nous le traitons un peu comme
si c’en était une. Et nous disons que cela
est équivalent à un seizième d𝑢 égal à 𝑥 d𝑥. Maintenant, le but est de remplacer
huit 𝑥 au carré plus un par 𝑢. Et nous pouvons remplacer 𝑥 d𝑥
par un seizième de d𝑢. Donc, cela pourrait ressembler à
l’intégrale de six fois 𝑢 à la puissance un demi fois un seizième de d𝑢.
Mais bien sûr, nous pouvons
réécrire cela un peu plus joliment comme six sur 16 fois 𝑢 à la puissance un demi
d𝑢. Et ensuite, nous sortons ce facteur
constant de six sur 16 ou de trois sur huit. Et donc 𝑦 est égal à trois
huitièmes fois l’intégrale indéfinie de 𝑢 à la puissance un demi d𝑢. Et ici, il convient de rappeler que
pour intégrer un terme de la forme 𝑥 à la puissance 𝑛 où 𝑛 n’est pas égal à moins
un, nous ajoutons un à la puissance puis divisons par cette nouvelle valeur. Ainsi, l’intégrale de 𝑢 à la
puissance un demi est 𝑢 à la puissance trois sur deux divisé par trois sur
deux. Et bien sûr, nous avons besoin de
cette constante d’intégration 𝐶.
Nous savons que diviser par une
fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Et donc, 𝑢 à la puissance trois
sur deux divisé par trois sur deux est la même chose que deux tiers de 𝑢 à la
puissance trois sur deux. Maintenant, rappelez-vous, nous
voulons une équation pour la courbe, donc ce sera 𝑦 en fonction de 𝑥. Nous revenons donc à notre
changement de variable 𝑢 est égal à huit 𝑥 au carré plus un. Et donc nous avons 𝑦 est égal à
trois huitièmes fois deux tiers de huit 𝑥 au carré plus un à la puissance trois sur
deux plus 𝐶.
Maintenant, ce que nous voulons
faire, c’est trouver la valeur de 𝐶. Nous allons donc revenir à la toute
première information sur la courbe et le fait qu’elle passe par zéro, un. En d’autres termes, lorsque 𝑥 est
égal à zéro, 𝑦 est égal à un. Et donc, nous substituons ces
valeurs. Un est égal à trois huitièmes fois
deux tiers de huit fois zéro au carré plus un à la puissance trois sur deux plus
𝐶. Alors, huit fois zéro au carré plus
un vaut un, et un à la puissance trois sur deux vaut toujours un. Nous obtenons donc un égal à trois
huitièmes fois deux tiers plus 𝐶.
Résolvons pour 𝐶 en divisant par
trois huitièmes. Donc, huit tiers égal deux tiers
plus 𝐶. Et si nous soustrayons les deux
tiers des deux côtés, nous voyons que 𝐶 est égal à six tiers, ce qui vaut
simplement deux. En remplaçant 𝐶 par deux, nous
avons une équation de la courbe, mais celle-ci n’est pas très élégante. Nous allons donc distribuer les
trois huitièmes dans les parenthèses. Trois huitièmes fois deux tiers
font un quart, et trois huitièmes fois deux font trois quarts. Et donc l’équation de notre courbe
est 𝑦 est égal à un quart de huit 𝑥 au carré plus un à la puissance trois sur deux
plus trois quarts.
