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Vidéo de question : Trouver l’équation d’une courbe, étant donné la pente de sa tangente qui contient une fonction racine, avec l’utilisation de l’intégration par substitution Mathématiques

Une courbe passe par (0, 1) et la tangente au point (𝑥, 𝑦) a pour pente 6𝑥 √(8𝑥² + 1). Quelle est l’équation de la courbe?

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Transcription de vidéo

Une courbe passe par zéro, un et la tangente en son point 𝑥, 𝑦 a une pente de six 𝑥 fois racine carrée de huit 𝑥 au carré plus un. Quelle est l’équation de la courbe?

Le point crucial pour répondre à cette question est de constater que nous avons des informations sur la pente de la tangente en un point donné. Nous nous souvenons que nous pouvons trouver une équation générale pour la pente d’une tangente à la courbe en dérivant l’équation de la courbe. En d’autres termes, dans ce cas, d𝑦 sur d𝑥 est égal à six 𝑥 fois racine carrée de huit 𝑥 au carré plus un. Ou encore, nous pouvons écrire ceci comme six 𝑥 fois huit 𝑥 au carré plus un à la puissance un demi.

Maintenant, en rappelant le fait que l’intégration et la dérivation sont des processus inverses l’un de l’autre, nous voyons que nous pouvons trouver une expression pour 𝑦 en intégrant l’expression pour d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Et cela nous donnera une équation générale. Nous devrons utiliser le fait que la courbe passe par zéro, un pour trouver l’équation particulière de la courbe. Donc, nous allons intégrer six 𝑥 fois huit 𝑥 au carré plus un à la puissance un demi par rapport à 𝑥.

Maintenant, vous vous demandez peut-être comment donc nous allons intégrer cette fonction. Eh bien, nous avons le produit de deux fonctions, dont l’une est une fonction composée. Le point clé ici est de constater que la dérivée d’une partie de la fonction composée est égale à un multiple scalaire d’une autre partie de la fonction. En d’autres termes, la dérivée de huit 𝑥 au carré plus un est un multiple de six 𝑥. C’est une bonne indication pour nous que nous allons utiliser l’intégration par changement de variable. Nous allons faire la substitution 𝑢 est égal à huit 𝑥 au carré plus un. C’est la partie intérieure de la fonction composée.

Ensuite, nous dérivons 𝑢 par rapport à 𝑥, en nous rappelant que pour dériver un terme de puissance, nous multiplions le terme entier par l’exposant puis réduisons l’exposant par un. Nous obtenons donc deux fois huit 𝑥 à la puissance un ou deux fois huit 𝑥, soit 16𝑥. Bien sûr, la dérivée de un est zéro. Donc, d𝑢 sur d𝑥 est 16𝑥. En revanche, d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction. Mais nous le traitons un peu comme si c’en était une. Et nous disons que cela est équivalent à un seizième d𝑢 égal à 𝑥 d𝑥. Maintenant, le but est de remplacer huit 𝑥 au carré plus un par 𝑢. Et nous pouvons remplacer 𝑥 d𝑥 par un seizième de d𝑢. Donc, cela pourrait ressembler à l’intégrale de six fois 𝑢 à la puissance un demi fois un seizième de d𝑢.

Mais bien sûr, nous pouvons réécrire cela un peu plus joliment comme six sur 16 fois 𝑢 à la puissance un demi d𝑢. Et ensuite, nous sortons ce facteur constant de six sur 16 ou de trois sur huit. Et donc 𝑦 est égal à trois huitièmes fois l’intégrale indéfinie de 𝑢 à la puissance un demi d𝑢. Et ici, il convient de rappeler que pour intégrer un terme de la forme 𝑥 à la puissance 𝑛 où 𝑛 n’est pas égal à moins un, nous ajoutons un à la puissance puis divisons par cette nouvelle valeur. Ainsi, l’intégrale de 𝑢 à la puissance un demi est 𝑢 à la puissance trois sur deux divisé par trois sur deux. Et bien sûr, nous avons besoin de cette constante d’intégration 𝐶.

Nous savons que diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Et donc, 𝑢 à la puissance trois sur deux divisé par trois sur deux est la même chose que deux tiers de 𝑢 à la puissance trois sur deux. Maintenant, rappelez-vous, nous voulons une équation pour la courbe, donc ce sera 𝑦 en fonction de 𝑥. Nous revenons donc à notre changement de variable 𝑢 est égal à huit 𝑥 au carré plus un. Et donc nous avons 𝑦 est égal à trois huitièmes fois deux tiers de huit 𝑥 au carré plus un à la puissance trois sur deux plus 𝐶.

Maintenant, ce que nous voulons faire, c’est trouver la valeur de 𝐶. Nous allons donc revenir à la toute première information sur la courbe et le fait qu’elle passe par zéro, un. En d’autres termes, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à un. Et donc, nous substituons ces valeurs. Un est égal à trois huitièmes fois deux tiers de huit fois zéro au carré plus un à la puissance trois sur deux plus 𝐶. Alors, huit fois zéro au carré plus un vaut un, et un à la puissance trois sur deux vaut toujours un. Nous obtenons donc un égal à trois huitièmes fois deux tiers plus 𝐶.

Résolvons pour 𝐶 en divisant par trois huitièmes. Donc, huit tiers égal deux tiers plus 𝐶. Et si nous soustrayons les deux tiers des deux côtés, nous voyons que 𝐶 est égal à six tiers, ce qui vaut simplement deux. En remplaçant 𝐶 par deux, nous avons une équation de la courbe, mais celle-ci n’est pas très élégante. Nous allons donc distribuer les trois huitièmes dans les parenthèses. Trois huitièmes fois deux tiers font un quart, et trois huitièmes fois deux font trois quarts. Et donc l’équation de notre courbe est 𝑦 est égal à un quart de huit 𝑥 au carré plus un à la puissance trois sur deux plus trois quarts.

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