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Vidéo de question : Détermination des maximums et minimums locaux d’une fonction contenant une fonction logarithmique Mathématiques

Déterminez les extrema locaux de 𝑓(𝑥) = -(5𝑥²/3) + 2𝑥 - (1/6)ln 𝑥, s’ils existent.

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Transcription de vidéo

Trouvez les maximums locaux et les minimums locaux de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins cinq 𝑥 au carré sur trois plus deux 𝑥 moins un sixième fois logarithme naturel de 𝑥, s’ils existent.

On nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons déterminer tous les maximums locaux et minimums locaux de cette fonction s’il y en a. Pour trouver ces points, nous devons remarquer quelque chose sur la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous savons comment dériver 𝑓 de 𝑥. En effet, 𝑓 de 𝑥 est la somme d’un polynôme et de la fonction logarithme naturel, et nous savons comment les dériver. Nous savons également que les extrema locaux d’une fonction se produisent toujours lorsque la dérivée de la fonction est égale à zéro ou lorsque la dérivée n’existe pas.

On appelle aussi parfois cela les points critiques. Nous devons donc trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥 afin de trouver tous les points critiques. Nous savons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la dérivée par rapport à 𝑥 de moins cinq 𝑥 au carré sur trois plus deux 𝑥 moins un sixième fois le logarithme naturel de 𝑥. Et nous savons en outre comment dériver cela terme par terme. Les deux premiers termes de cette expression peuvent être dérivés en utilisant la règle de puissance pour la dérivation. Et pour dériver le troisième et dernier terme, nous devons nous rappeler que la dérivée du logarithme naturel par rapport à 𝑥 est égale à la fonction inverse, un sur 𝑥.

Nous pouvons donc maintenant évaluer cette dérivée. Encore une fois, nous dérivons les deux premiers termes en utilisant la règle de puissance pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 et réduisons cet exposant de un. Nous obtenons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à moins 10𝑥 divisé par trois plus deux moins un divisé par six 𝑥. Nous voulons trouver tous les points critiques de la fonction 𝑓 de 𝑥. On rappelle que aux points où la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro ou que la dérivée n’existe pas.

Et nous pouvons voir que 𝑓 prime de 𝑥 est la somme de fonctions rationnelles. Et le seul cas où une fonction rationnelle n’est pas définie, c’est lorsque le dénominateur est égal à zéro. Et le seul dénominateur qui peut être égal à zéro est six 𝑥. Ainsi, 𝑓 prime de 𝑥 existe pour toutes les valeurs de 𝑥 sauf lorsque six 𝑥 est égal à zéro, ce qui correspond bien sûr à 𝑥 égal zéro.

Mais avant de poursuivre, il y a encore une chose à faire. Nous devons vérifier que 𝑥 égal zéro est dans l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥. Parce que nous ne pouvons pas vérifier la valeur de la dérivée de la fonction en zéro si la fonction d’origine elle-même n’est pas définie lorsque 𝑥 est égal à zéro. Et en fait, nous pouvons voir que 𝑥 est égal à zéro n’est pas dans l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Sinon, nous aurions besoin de prendre le logarithme naturel de zéro. Donc, zéro n’est pas un point critique de la fonction 𝑓 de 𝑥. Et en fait, cela indique que 𝑓 prime de 𝑥 est défini pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥.

Ainsi, les seuls points critiques de la fonction seront ceux où la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro. Une façon de résoudre cette équation est de multiplier l’équation entière par 𝑥. Rappelez-vous, nous avons déjà expliqué que 𝑥 ne peut pas être égal à zéro. En multipliant par 𝑥 et en simplifiant, nous obtenons que 𝑓 prime de 𝑥 sera égal à zéro lorsque moins 10𝑥 au carré sur trois plus deux 𝑥 moins un sixième est égal à zéro. Et cela est simplement une expression du second degré en 𝑥, nous pouvons donc résoudre ce problème en utilisant un programme de résolution ou alors la formule du second degré.

Une autre façon encore de résoudre ce problème est de multiplier l’équation par moins six. Nous obtenons 20𝑥 au carré moins 12𝑥 plus un est égal à zéro. Et puis, soit en examinant de près, soit par le théorème de factorisation ou l’une des méthodes que nous avons mentionnées précédemment, nous pouvons factoriser cela pour donner 10𝑥 moins un fois deux 𝑥 moins un égal zéro. Et nous savons que si le produit de deux facteurs est égal à zéro, alors l’un de ces deux facteurs doit être égal à zéro. En d’autres termes, soit 10𝑥 moins un est égal à zéro, soit deux 𝑥 moins un est égal à zéro.

Et ensuite nous pouvons simplement résoudre ces deux équations linéaires pour 𝑥. Nous obtenons soit 𝑥 est égal à un sur 10, soit 𝑥 est égal à un demi. Et comme nous l’avons fait auparavant, nous devons également vérifier que la fonction 𝑓 de 𝑥 est définie lorsque 𝑥 est égal à un sur 10 et lorsque 𝑥 est égal à un demi. Et si nous faisons cela, nous pouvons voir, bien sûr, qu’on peut substituer 𝑥 est égal à un sur 10 ou 𝑥 est égal à un demi dans la partie polynomiale de 𝑓 de 𝑥. Et ces deux valeurs étant positives, nous pouvons aussi les substituer dans le logarithme naturel de 𝑥. Donc, ces deux valeurs sont dans l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥.

Par conséquent, ces deux points sont des points critiques de la fonction 𝑓 de 𝑥. La dérivée de 𝑓 de 𝑥 en ces points est égale à zéro, ce qui nous dit bien sûr que ce sont des extrema locaux de la fonction. Mais nous devons encore déterminer si ce sont des maximums locaux ou des minimums locaux et nous devons trouver leurs valeurs. Il y a plusieurs façons de faire. Par exemple, nous pourrions utiliser le test de la dérivée première. Cependant, si nous regardons l’expression pour la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous voyons que nous pouvons dériver cela une fois encore. Cela signifie que nous pourrions également utiliser le test de la dérivée seconde.

Pour utiliser le test de la dérivée seconde, nous allons devoir trouver une expression pour la dérivée seconde de 𝑓 par rapport à 𝑥. Nous pouvons le faire en dérivant 𝑓 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est la dérivée de moins 10𝑥 sur trois plus deux moins un sur six 𝑥 par rapport à 𝑥. Et pour faciliter la dérivation, nous réécrivons moins un sur six 𝑥 comme moins un sixième multiplié par 𝑥 à la puissance moins un. Cela signifie que nous pouvons maintenant dériver cette expression terme par terme en utilisant la règle de puissance pour la dérivation. Et puis en appliquant la règle de puissance de la dérivation terme par terme, nous obtenons moins 10 sur trois plus un sixième fois 𝑥 à la puissance moins deux.

Et bien sûr, en utilisant les lois des exposants, nous pouvons réécrire 𝑥 à la puissance moins deux comme 𝑥 au carré au dénominateur. Cela nous donne que 𝑓 seconde de 𝑥 est égal à moins 10 sur trois plus un sur six 𝑥 au carré. Nous devons maintenant rappeler le test de dérivée seconde pour une fonction 𝑓 de 𝑥. Nous rappelons que cela nous indique si 𝑥 est un point critique de la fonction 𝑓 et que la dérivée seconde de 𝑓 par rapport à 𝑥 en 𝑥 est positive, alors cela doit être un minimum local. Cependant, si la dérivée seconde de 𝑓 par rapport à 𝑥 en 𝑥 est négative, alors cela doit être un maximum local.

Nous devons donc maintenant évaluer la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 en chacun des points critiques. Nous allons commencer par 𝑥 est égal à un sur 10. Nous écrirons ceci comme 0,1. En substituant 0,1 dans notre expression pour 𝑓 seconde de 𝑥, nous obtenons moins 10 sur trois plus un divisé par six fois 0,1 carré. Et si nous évaluons cette expression, nous obtenons 40 divisé par trois, et nous remarquons que c’est positif. Et parce que la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 en 0,1 est positive, cela signifie que autour de cette valeur de 𝑥, les pentes de la fonction augmentent. Cela signifie qu’il doit s’agir d’un minimum local.

Nous pouvons faire exactement la même chose à l’autre point critique lorsque 𝑥 est égal à un demi. Nous écrirons ceci comme 0,5. Nous devons substituer 0,5 dans notre expression pour 𝑓 seconde de 𝑥. Nous obtenons moins 10 sur trois plus un divisé par six fois 0,5 carré. Cette fois, si nous évaluons cette expression, nous obtenons moins huit divisé par trois, ce qui est négatif. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à 0,5, la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 est négative. Cela signifie que les pentes de la fonction diminuent, ce qui signifie que nous devons être au maximum local.

Mais rappelez-vous, il y a encore une chose à faire. L’énoncé demande que nous trouvions aussi les valeurs des maximums locaux et des minimums locaux de cette fonction. Pour ce faire, il suffit de substituer les valeurs des points critiques dans la fonction 𝑓 de 𝑥. Libérons donc un peu d’espace et trouvons les valeurs de nos maximums locaux et minimums locaux. Nous allons commencer avec 𝑥 égal 0,1.

En substituant 𝑥 est égal à 0,1 dans la fonction 𝑓 de 𝑥, nous obtenons moins cinq fois 0,1 au carré divisé par trois plus deux fois 0,1 moins un sixième fois le logarithme naturel de 0,1. Et si nous évaluons cette expression, nous pouvons la simplifier pour obtenir 11 divisé par 60 moins un sixième fois le logarithme naturel de un sur 10.

Et nous pouvons faire la même chose pour notre autre point critique lorsque 𝑥 est égal à un demi. Nous allons écrire ceci comme 0,5 et substituer 𝑥 est égal à 0,5 dans notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous obtenons moins cinq multiplié par 0,5 carré divisé par trois plus deux fois 0,5 moins un sixième fois le logarithme naturel de 0,5. Ensuite, en évaluant et en simplifiant cette expression, nous obtenons sept divisé par 12 moins un sixième multiplié par le logarithme naturel d’un demi. Et rappelez-vous, nous avons déjà montré que c’est un maximum local de la fonction, et cela nous donne la réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins cinq 𝑥 au carré sur trois plus deux 𝑥 moins un sixième fois le logarithme naturel de 𝑥 n’a que deux extrema locaux. Elle a un minimum local avec une valeur de 11 sur 60 moins un sixième fois le logarithme naturel de un sur 10 lorsque 𝑥 est égal à un dixième. Et elle a une valeur maximale locale de sept sur 12 moins un sixième fois le logarithme naturel de la moitié lorsque 𝑥 est égal à un demi.

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