Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Déterminer la distance entre un point et la ligne d’action d’une force Mathématiques

La force 𝐅 = 3𝐢 + 𝑚𝐣 agit en le point 𝐴 (−5 ; −4) parallèlement à 𝐵𝐷, où les points 𝐵 et 𝐷 sont respectivement de coordonnées (5 ; 6) et (9 ; 3). Déterminez la distance entre le point 𝐵 et la ligne d’action de 𝐅.

03:26

Transcription de vidéo

La force 𝐅 est égale à trois 𝐢 plus 𝑚𝐣 et agit en le point 𝐴 moins cinq, moins quatre parallèlement au vecteur BD, où les points 𝐵 et 𝐷 sont respectivement de coordonnées cinq, six et neuf, trois. Déterminez la distance entre le point 𝐵 et la ligne d’action de 𝐅.

Commençons par construire un schéma du scénario. Nous avons les points 𝐴 moins cinq, moins quatre ; 𝐵 cinq, six ; et 𝐷 neuf, trois. La force 𝐅 agit parallèlement à la droite 𝐵𝐷. Puisque la composante 𝐢 de 𝐅 est plus trois, sa direction doit être vers la droite et vers le bas. Alors, nous devons déterminer sa direction exacte en calculant la direction de la droite 𝐵𝐷. Le vecteur 𝐵𝐷 est donné par le vecteur position du point 𝐷 neuf, trois moins le vecteur position du point 𝐵 cinq, six. Cela correspond à quatre, moins trois.

Et 𝐅 est un vecteur parallèle à ce vecteur. Donc, c’est un multiple scalaire, appelons-le mu, de quatre, moins trois. Nous savons déjà que la composante 𝐢 de 𝐅 est trois. Par conséquent, quatre fois mu est égal à trois. Et en remaniant pour exprimermu, on a mu égale trois sur quatre. Cela nous donne la composante 𝐢 de 𝐅 égale à trois et la composante 𝐣 égale à trois sur quatre multiplié par moins trois, ce qui fait moins neuf sur quatre. Ainsi, la valeur de 𝑚 est moins neuf sur quatre.

Ensuite, nous devons déterminer la distance entre le point 𝐵 et la ligne d’action de 𝐅. Cela équivaut à définir 𝐵 comme point de pivot et à déterminer la distance perpendiculaire 𝐿 entre 𝐵 et la ligne d’action de 𝐅. Rappelons que la norme d’un moment 𝐌 d’une force 𝐅 autour d’un point est égale à la norme de 𝐅 multipliée par sa distance perpendiculaire au point de pivot. Et isoler 𝐿 nous donne 𝐿 égal à la norme de 𝐌 sur la norme de 𝐅. Nous avons déjà le vecteur 𝐅. Donc, calculer sa norme sera simple. Mais nous devons trouver le moment de 𝐅 par rapport au point 𝐵.

Rappelons que le moment 𝐌 d’une force 𝐅 est égal à 𝐫 vectoriel 𝐅, où 𝐫 est le vecteur du point de pivot au point d’action de 𝐅. Dans ce cas, 𝐫 est égal au vecteur 𝐁𝐀. Et 𝐁𝐀 est égal au vecteur position de 𝐴 moins cinq, moins quatre moins le vecteur position de 𝐵 cinq, six, ce qui revient à moins 10, moins 10. Donc 𝐫 vectoriel 𝐅 est égal au déterminant de la matrice trois fois trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, moins 10, moins 10, zéro, trois, moins neuf sur quatre, zéro.

Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦 et ont donc une composante 𝐤 nulle. En prenant leur produit vectoriel, seule la composante 𝐤 sera non nulle. Le calcul de ce déterminant en développant la ligne du haut nous donne 90 sur quatre moins moins 30 fois 𝐤, ce qui donne 105 sur deux 𝐤. La norme de 𝐌 est donc tout simplement 105 sur deux. Et 𝐅 est égal à trois, moins neuf sur quatre. Ainsi, la norme de 𝐅 est égale à la racine carrée de trois au carré plus moins neuf sur quatre le tout au carré. La distance 𝐿 est alors égale à 105 sur deux divisé par racine carrée de neuf plus 81 sur 16.

Cela se simplifie et nous donne notre réponse finale. La distance entre le point 𝐵 et la ligne d’action de 𝐅, 𝐿, est égale à 14 unités de longueur.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.