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Vidéo de question : Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique à l’aide d’une identité trigonométrique Mathématiques

Sachant que cos (𝜃₁) = 1/3, où 0 < 𝜃₁ < 𝜋/2 et que cos (𝜃₂) = 1/3, où 0 < 𝜃₂ < 𝜋/2, déterminez la valeur de tan (𝜃₁ + 𝜃₂) sans utiliser de calculatrice. Astuce : prenez tan (𝜃₁ + 𝜃₂) = (tan (𝜃₁) + tan (𝜃₂)) / (1 - (tan (𝜃₁) tan (𝜃₂))).

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Transcription de vidéo

Sachant que cosinus de 𝜃 un est égal à un tiers, où 𝜃 un est compris entre zéro et 𝜋 sur deux et que cosinus 𝜃 deux est égal à un tiers, où 𝜃 deux est compris entre zéro et 𝜋 sur deux, déterminez la valeur de tangente de 𝜃 un plus 𝜃 deux sans utiliser de calculatrice. Astuce : prenez tangente de 𝜃 un plus 𝜃 deux égale tangente de 𝜃 un plus tangente de 𝜃 deux le tout sur un moins tangente de 𝜃 un fois tangente de 𝜃 deux.

On nous a donné le cosinus de 𝜃 un et le cosinus de 𝜃 deux, qui sont tous les deux un tiers. De plus, les deux intervalles donnés pour 𝜃 un et 𝜃 deux sont entre zéro et 𝜋 sur deux. Dans le contexte d’un repère cartésien, si notre angle se situe entre zéro et deux 𝜋, il sera dans le premier quadrant. Cela nous donne un peu plus d’informations sur cet angle. Pour s’en souvenir, nous utilisons le diagramme CAST. Le 𝐴 dans le premier quadrant nous indique que pour les angles qui se situent dans le premier quadrant, les trois fonctions trigonométriques seront positives. Les valeurs sinus, cosinus et tangente de 𝜃 compris entre zéro et 𝜋 sur deux seront positives.

Puisque notre objectif est de trouver tangente de 𝜃 un plus 𝜃 deux et que nous avons reçu une identité trigonométrique pour nous aider à le faire, nous avons besoin de deux informations. Nous devons calculer la tangente de 𝜃 un et la tangente de 𝜃 deux. Nous devrons connaître les relations entre sinus, cosinus et tangente. Ceci parce que nous avons une relation cosinus, c’est-à-dire le côté adjacent sur l’hypoténuse et que 𝜃 un et 𝜃 deux ont les mêmes relations cosinus. Pour calculer la tangente de 𝜃 un et 𝜃 deux, nous devons connaître la longueur du côté opposé.

Pour nous aider à trouver cette longueur du côté opposé, nous pouvons tracer un triangle rectangle. Voici un triangle rectangle avec un cosinus d’un tiers. Pour calculer la longueur de son côté opposé, nous utilisons le théorème de Pythagore, où nous dirions que un carré plus 𝑏 carré est égal à trois carrés. Un plus 𝑏 carré est égal à neuf. Si nous soustrayons un des deux côtés, nous voyons que 𝑏 au carré est égal à huit. Pour obtenir 𝑏 lui-même, nous prenons la racine carrée des deux côtés. Nous savons que la racine carrée de huit est égale à la racine carrée de quatre fois deux, ce qui est égal à la racine carrée de quatre fois la racine carrée de deux. Ainsi, la forme la plus simplifiée de 𝑏 est deux fois la racine carrée de deux.

Nous pouvons ajouter cela à notre triangle rectangle. Si nous voulons connaître la relation tangente de cet angle, il s’agit de la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent, deux fois la racine carrée de deux sur un. Puisque ces deux angles ont un cosinus d’un tiers et tombent dans le même quadrant, la tangente de 𝜃 un et la tangente de 𝜃 deux seront les mêmes. Deux fois la racine carrée de deux sur un. À ce stade, nous sommes prêts à résoudre le problème pour la tangente de 𝜃 un plus 𝜃 deux.

Nous avons juste besoin d’insérer les données que nous savons. La tangente de 𝜃 un est deux fois la racine carrée de deux et la tangente de 𝜃 deux est deux fois la racine carrée de deux. Nous pouvons ajouter deux fois la racine carrée de deux plus deux fois la racine carrée de deux. Lorsque nous les combinons, nous obtenons quatre fois la racine carrée de deux. Dans notre dénominateur, nous devons multiplier deux fois la racine carrée de deux fois deux fois la racine carrée de deux.

Si nous le réarrangeons, cela pourrait ressembler à ceci. Nous multiplions deux par deux, ce qui nous donne quatre. La racine carrée de deux fois la racine carrée de deux est égale à deux. Quatre fois deux égale huit et un moins huit égale moins sept. On peut donc dire que la tangente de 𝜃 un plus 𝜃 deux est égal à moins quatre fois la racine carrée de deux sur sept.

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