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La figure montre un cube de côté six. Le point 𝑀 est le milieu du segment 𝐴𝐵. Lequel des choix suivants est la représentation paramétrique de la droite 𝑂𝑀 ? Est-ce (A) 𝑥 égale six 𝑡, 𝑦 égale trois 𝑡 et 𝑧 égale trois 𝑡. (B) 𝑥 égale six 𝑡, 𝑦 égale six moins six 𝑡 et 𝑧 égale trois moins trois 𝑡. L'option (C) 𝑥 égale six 𝑡, 𝑦 égale six 𝑡 et 𝑧 égale trois 𝑡. (D) 𝑥 égale trois 𝑡, 𝑦 égale trois 𝑡 et 𝑧 égale six 𝑡. (E) 𝑥 égale six moins six 𝑡, 𝑦 égale six moins six 𝑡 et 𝑧 égale trois 𝑡.
On nous dit dans la question que nous avons un cube de longueur de côtés égale à six. On nous dit que 𝑀 est le milieu du segment 𝐴𝐵. On nous demande de déterminer les équations paramétriques de la droite 𝑂𝑀.
Nous rappelons que les équations paramétriques d'une droite est un système non unique de trois équations de la forme 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡𝑙, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡𝑚 et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡𝑛, où le point de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro appartient à la droite. 𝑙, 𝑚, 𝑛 est un vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un nombre réel appelé paramètre qui varie de moins ∞ à ∞
Nous savons que l'origine a pour coordonnées zéro, zéro, zéro. Puisque ce point se trouve sur la droite 𝑂𝑀, nous pouvons prendre 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro comme étant tous égaux à zéro. Pour déterminer le vecteur directeur de cette droite, il faut d'abord déterminer les coordonnées du point 𝑀. Le point 𝐴 a pour coordonnées six, six, six. Le point 𝐵 a pour coordonnées six, six, zéro.
Puisque 𝑀 est le point milieu de 𝐴𝐵, nous pouvons calculer ses coordonnées en calculant la valeur moyenne des coordonnées correspondantes de 𝐴 et 𝐵. Ainsi, la moyenne de six et six est six et la moyenne de six et zéro est trois. 𝑀 a donc pour coordonnées six, six, trois. Nous pouvons maintenant déterminer le vecteur directeur de la droite 𝑂𝑀.
Pour cela, il suffit de soustraire les vecteurs de position des deux points. Nous pouvons le faire dans n'importe quel ordre. Dans ce cas, nous soustrayons le vecteur zéro, zéro, zéro du vecteur six, six, trois. Un vecteur directeur de la droite 𝑂𝑀 est donc égal à six, six, trois. Voici les valeurs de 𝑙, 𝑚, et 𝑛 que nous allons substituer dans la forme générale.
Nous pourrions utiliser soit le point 𝑂, soit le point 𝑀 pour 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro, vu que ces deux points appartiennent à la droite. Puisque nous cherchons une solution spécifique qui correspond à l'une de nos options, nous allons utiliser l'origine. La substitution de nos valeurs de 𝑥 zéro et 𝑙 dans la forme générale nous donne 𝑥 égale zéro plus six 𝑡. Ceci se simplifie en seulement six 𝑡. De même, nous avons 𝑦 égale zéro plus six 𝑡 et 𝑧 égale zéro plus trois 𝑡.
En simplifiant nos équations, nous remarquons qu'elles correspondent à celles de l'option (C). Parmi les options données, les équations paramétriques de la droite 𝑂𝑀 sont 𝑥 égale six 𝑡, 𝑦 égale six 𝑡, et 𝑧 égale trois 𝑡. Comme déjà mentionné, il y a beaucoup d'autres systèmes d'équations paramétriques que nous aurions pu choisir sur la base des informations de cette question.
