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Vidéo de question : Résoudre une équation matricielle en déterminant l’inverse d’une matrice Mathématiques

Résolvez (1, -1, -1 ; 1, 1, -1 ; 1, 1, 0) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (9, −11, 6) en utilisant l’inverse d’une matrice.

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Transcription de vidéo

Résolvez en utilisant l’inverse d’une matrice.

Rappelons la notation : 𝐴 multiplié par 𝑛, qui est en minuscule car c’est un vecteur, est égal à 𝑏. Pour trouver les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧, qui sont des éléments du vecteur que nous avons appelé 𝑛, nous devons d’abord trouver l’inverse de 𝐴. Rappelez-vous que l’inverse de 𝐴 multiplié par 𝐴 est simplement la matrice identité. Si nous multiplions donc les deux côtés de notre équation par l’inverse de 𝐴, nous obtenons que la solution 𝑛 est égale à l’inverse de 𝐴 fois 𝑏.

Juste un petit rappel cependant, l’ordre est important. Cela ne fonctionne pas si nous calculons 𝑏 fois l’inverse de 𝐴 parce que le nombre de colonnes dans 𝑏 n’est pas égal au nombre de lignes dans 𝐴. Pour trouver l’inverse de 𝐴, nous avons quelques étapes plutôt compliquées à suivre.

La première étape consiste à trouver la matrice des cofacteurs. La deuxième étape consiste à transposer les éléments de cette matrice pour trouver la matrice adjointe. La troisième étape consiste à multiplier par un sur le déterminant de 𝐴.

Étape un : Trouver la matrice des cofacteurs. Ceci est la formule que nous devons utiliser pour nous aider à trouver la matrice des cofacteurs. Une bonne façon de s’en souvenir est de couvrir la ligne et la colonne que vous regardez et de trouver le déterminant de la matrice qui reste. Vous pouvez ensuite appliquer le signe correspondant à ce nombre en alternance.

La ligne du haut a pour signes positif, négatif, positif ; la deuxième ligne est négatif, positif, négatif ; et la troisième est positif, négatif, positif. Pour tous les éléments qui ont un signe négatif, vous devez multiplier par moins un, ce qui change le signe de ce nombre.

La prochaine étape est un peu plus simple : nous trouvons le déterminant de chacun de ces éléments. Pour ce faire, nous multiplions l’élément supérieur gauche par celui inférieur droit puis soustrayons le produit des éléments supérieur droit et inférieur gauche. Le premier élément de la matrice des cofacteurs est donc un. Il doit rester positif selon notre formule.

Le déterminant du deuxième élément de la première ligne est trouvé en calculant un multiplié par zéro moins moins un multiplié par un. Le déterminant du troisième élément de la première ligne est trouvé en calculant un multiplié par un moins un multiplié par un, soit zéro. Le troisième élément est zéro.

Suivons ce processus pour les éléments restants. Le déterminant de la matrice dans la deuxième ligne et la première colonne est trouvé en calculant moins un fois zéro moins moins un fois un, soit un. Dans notre matrice, il est multiplié par moins un et devient moins un. Un multiplié par zéro moins moins un multiplié par un égale un et un multiplié par un moins moins un multiplié par un égale deux. Le dernier élément de notre deuxième ligne est donc moins deux.

Le déterminant de la matrice deux par deux dans la troisième ligne et la première colonne est moins un multiplié par moins un moins moins un multiplié par un, ce qui est égal à deux. Un multiplié par moins un moins moins un multiplié par un est égal à zéro. Enfin, un multiplié par un moins moins un multiplié par un égale deux. La première étape est terminée. C’est de loin la partie la plus longue.

La deuxième étape consiste à trouver la matrice adjointe de la matrice des cofacteurs. Cela signifie transposer les lignes et les colonnes ou les refléter selon cette diagonale. Les éléments sur cette diagonale restent donc les mêmes. Nous échangeons moins un et moins un, ce qui ne change pas grand-chose. Nous échangeons le zéro et le deux et enfin nous échangeons zéro et moins deux.

Notre dernière étape consiste à multiplier cette matrice adjointe par un sur le déterminant de 𝐴, notre matrice initiale trois par trois. Pour calculer le déterminant, nous multiplions chacun des éléments de la ligne supérieure par son cofacteur. Ce sont les déterminants de leurs matrices mineures que nous avons calculés plus tôt. Dans le cas présent, il s’agit de un multiplié par un moins moins un multiplié par un moins moins un multiplié par zéro, ce qui est égal à deux.

Enfin, nous devons multiplier notre matrice adjointe par un sur le déterminant, soit un demi. L’inverse de 𝐴 est donc comme indiqué. Maintenant, rappelons que nous avons dit que pour résoudre ce système d’équations linéaires, nous multiplions 𝑏 par l’inverse de 𝐴. Maintenant, tout ce que nous devons faire est multiplier nos matrices.

𝑥 égale un demi fois neuf plus moins un demi fois moins 11 plus un fois six, soit 16. 𝑦 égale moins un demi fois neuf plus un demi fois moins 11 plus zéro fois six, soit moins 10. 𝑧 égale zéro fois neuf plus moins un fois moins 11 plus un fois six, soit 17.

Notre solution est 𝑥 égale 16, 𝑦 égale moins 10 et 𝑧 égale 17.

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