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Vidéo de question : Trouver la primitive générale d’une fonction du second degré Mathématiques

Trouvez la primitive la plus générale 𝐹(𝑥) de la fonction 𝑓(𝑥) = (𝑥 - 3)².

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Transcription de vidéo

Trouvez la primitive la plus générale grand 𝐹 de 𝑥 de la fonction petit 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins trois le tout au carré.

La question nous donne une fonction petit 𝑓 de 𝑥. Il faut trouver la primitive la plus générale de cette fonction. Nous appellerons cela grand 𝐹 de 𝑥. Rappelez-vous, une primitive signifie que lorsque nous dérivons ceci, nous revenons à notre fonction d’origine. En d’autres termes, nous voulons que grand 𝐹 prime de 𝑥 soit égale à petit 𝑓 de 𝑥. Rappelez-vous, puisque la dérivée de toute constante est égale à zéro, nous pouvons ajouter toute constante que nous voulons à notre primitive. Ce sera toujours une primitive de notre fonction petit 𝑓 de 𝑥.

Nous ajoutons donc une constante 𝐶 à notre primitive. Nous appelons cela la primitive la plus générale, car elle représentera toutes les primitives de notre fonction. Commençons donc à essayer de trouver notre primitive. Commençons par regarder notre fonction petit 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons voir qu’elle est 𝑥 moins trois le tout au carré. C’est un problème, car il s’agit d’une composition de fonctions. Cela peut rendre beaucoup plus difficile la recherche de nos primitives. Au lieu de cela, simplifions notre fonction en distribuant le carré dans nos parenthèses. Nous allons distribuer notre carré en utilisant la double distributivité. Nous allons commencer par multiplier le premier terme de chaque facteur. Cela nous donne 𝑥 fois 𝑥, ce qui est égal à 𝑥 au carré.

Ensuite, d’après la double distributivité, on multiplie nos deux termes extérieurs ensemble. Cela nous donne 𝑥 multiplié par moins trois, ce qui est moins trois 𝑥. Maintenant, nous voulons multiplier nos deux termes intérieurs ensemble. Encore une fois, cela donne moins trois fois 𝑥, ce qui est moins trois 𝑥. Enfin, nous voulons multiplier le dernier terme de chaque facteur. Cela nous donne moins trois fois moins trois, ce qui équivaut à neuf. Nous pouvons réduire cela, puisque moins trois 𝑥 moins trois 𝑥 est égal à moins six 𝑥.

Alors maintenant, nous pouvons voir que notre fonction petit 𝑓 de 𝑥 est un polynôme. Nous savons comment trouver la primitive de chaque terme dans un polynôme séparément. Nous savons trouver la primitive de 𝑎 multipliée par 𝑥 à la puissance 𝑛, nous voulons ajouter un à notre exposant de 𝑥 puis diviser par ce nouvel exposant de 𝑥. Cela nous donne 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un. Dans le cas général, nous allons ajouter une constante d’intégration 𝐶. Nous voudrons faire cela pour chaque terme séparément. Commençons par 𝑥 au carré. Pour trouver une primitive de 𝑥 au carré, nous pouvons ajouter un à notre exposant de deux. Cela nous donne un nouvel exposant de trois. Cependant, rappelez-vous, nous devons ensuite diviser par ce nouvel exposant. Cela nous donne 𝑥 au cube sur trois.

Nous voulons maintenant trouver une primitive de notre deuxième terme, moins six 𝑥. Une façon de le faire est de réécrire notre deuxième terme moins six fois 𝑥 à la puissance un. Encore une fois, nous voulons ajouter un à notre exposant de 𝑥. Cette fois, cet exposant est égal à un. Ainsi, nous obtenons deux et nous divisons par deux. Nous avons donc moins six 𝑥 au carré divisé par deux. Nous savons que six divisé par deux est égal à trois. Nous avons donc montré que moins trois 𝑥 au carré est une primitive de moins six 𝑥. Enfin, nous voulons trouver une primitive du troisième terme, neuf. Nous pourrions être tentés d’écrire ceci comme neuf fois 𝑥 à la puissance zéro.

Cependant, il existe une méthode plus simple pour trouver une primitive dans ce cas. Nous savons que pour toute constante 𝐾, la dérivée de 𝐾𝑥 par rapport à 𝑥 est juste égale à 𝐾. En d’autres termes, pour toute constante 𝐾, 𝐾𝑥 est une primitive de 𝐾. Ainsi, lorsque 𝐾 est égal à neuf, nous voyons que neuf 𝑥 est une primitive de neuf. Ainsi,, pour trouver une primitive de toute constante, il suffit de multiplier cette constante par 𝑥.

Rappelez-vous, cependant, ce n’est qu’une primitive possible de notre fonction petit 𝑓 de 𝑥. Si nous ajoutons une constante à cela, la dérivée de cette constante est égale à zéro. Ainsi, ceci est toujours une primitive de notre fonction. Nous ajoutons donc une constante, que nous avons appelée 𝐶, à cette fonction. Cela représente toutes nos primitives possibles. C’est ainsi que nous trouvons notre primitive la plus générale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la primitive la plus générale grand 𝐹 de 𝑥 de la fonction petit 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 moins trois le tout au carré est donnée par grand 𝐹 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube sur trois moins trois 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶.

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