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On considère la matrice suivante 𝐴, trois par trois, constituée des valeurs un, zéro, zéro, quatre, zéro, zéro, un, zéro, trois. Lequel des choix suivants représente le type de matrice 𝐴 ? Est-ce l’option (A) matrice identité, l’option (B) matrice à lignes, l’option (C) matrice diagonale, l’option (D) matrice triangulaire inférieure ? Ou est-ce la matrice triangulaire supérieure de l’option (E) ?
Dans cette question, on nous donne une matrice 𝐴 et nous devons déterminer lequel des cinq types de matrices correspond à la matrice 𝐴. Nous ferons cela en parcourant chacun des cinq types de matrices qui nous ont été données. Commençons par l’option (A), qui est une matrice identité. Premièrement, lorsque nous parlons de matrice identité, nous entendons une matrice identité par rapport à la multiplication. Une autre façon d’exprimer cela est si 𝐼 est une matrice identité carrée d’un certain ordre, alors pour toute matrice 𝐵, qui est également une matrice carrée et de même ordre, 𝐵 fois 𝐼 est égale à 𝐼 fois 𝐵 qui est égale à 𝐵. Pour toute matrice 𝐵 du même ordre que 𝐼, lorsque nous multiplions à droite ou à gauche par 𝐼, nous obtenons 𝐵. 𝐼 est une matrice identité selon l’opération de multiplication.
A cause de ces propriétés, les matrices identité ont toutes la même forme. Tout d’abord, elles doivent être des matrices carrées, ce qui signifie qu’elles ont le même nombre de lignes et de colonnes. Nous pouvons voir que cela est vrai pour la matrice A. La matrice A a trois lignes et trois colonnes. Ensuite, chaque entrée sur la diagonale principale d’une matrice identité doit être égale à un. Ce sont les entrées où le numéro de la ligne est égal au numéro de la colonne. Or, la diagonale principale de la matrice 𝐴 est composée des trois entrées, soient un, zéro et trois, et celles-ci, bien évidemment, ne sont pas toutes égales à un. Ainsi, la matrice 𝐴 n’est pas une matrice identité. Cependant, il pourrait être utile de terminer le reste de notre matrice identité. Toutes les entrées qui ne sont pas sur la diagonale principale d’une matrice identité doivent être égales à zéro. Bien sûr, nous pouvons également voir que ce n’est pas vrai pour la matrice 𝐴. L’élément de la ligne trois et colonne un, par exemple, est égal à un.
Passons donc à l’option (B). Nous devons vérifier si la matrice 𝐴 est une matrice ligne. Nous rappelons que l’on dit qu’une matrice est une matrice ligne si elle n’a qu’une seule ligne. Cependant, nous avons déjà compté le nombre de lignes de la matrice 𝐴. La matrice 𝐴 a trois lignes. Par conséquent, la matrice 𝐴 n’est pas une matrice ligne.
Alors, passons à l’option (C). Nous devons vérifier si la matrice 𝐴 est une matrice diagonale. Pour nous aider à définir une matrice diagonale, regardons encore une fois la matrice identité d’ordre 𝑛. Nous définissons cette matrice comme une matrice carrée où chaque élément dont le numéro de la ligne est égal au numéro de la colonne est égal à un. Ceci est parfois appelé la diagonale principale de la matrice. Nous définissons une matrice diagonale comme étant une matrice où chaque élément qui n’est pas sur la diagonale principale est égal à zéro. Ainsi, par exemple, la matrice identité d’ordre 𝑛 est une matrice 𝑛 par 𝑛 diagonale, où chaque entrée sur la diagonale principale est un.
Ainsi, pour montrer que la matrice 𝐴 n’est pas diagonale, il suffit de trouver un élément, en dehors de la diagonale principale, qui est non nul. Nous avons déjà trouvé cet élément lorsque nous avons montré que la matrice 𝐴 n’était pas une matrice identité. L’élément de la ligne un, colonne trois est égal à un. Pour que 𝐴 soit une matrice diagonale, il faudrait que cet élément soit nul.
Passons maintenant aux options (D) et (E). Nous devons déterminer si la matrice 𝐴 est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure. Pour qu’une matrice soit une matrice triangulaire inférieure, nous rappelons que toutes les entrées au-dessus de la diagonale principale doivent être égales à zéro. De même, pour qu’une matrice soit une matrice triangulaire supérieure, toutes les entrées sous la diagonale principale doivent être égales à zéro. Cela signifie que nous pouvons immédiatement éliminer l’option (E) car, rappelez-vous, nous avons déjà montré l’élément de la première ligne et troisième colonne n’est pas égal à zéro. Cet élément est en dessous de la diagonale principale. Ainsi, la matrice 𝐴 ne peut pas être une matrice triangulaire supérieure. Cependant, si nous regardons les trois éléments au-dessus de la diagonale principale, nous pouvons voir qu’ils sont tous égaux à zéro.
Par conséquent, puisque chaque élément au-dessus de la diagonale principale de la matrice 𝐴 est égal à zéro, nous pouvons dire que la matrice 𝐴 est une matrice triangulaire inférieure, ce qui correspond à l’option (D).
