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Vidéo de question : Identifier la convexité et la monotonie d’une fonction à partir de sa représentation graphique Mathématiques

La courbe d’une fonction 𝑦 = 𝑓 (𝑥) est représentée. À quel point d𝑦/d𝑥 est négatif, mais d²𝑦/d𝑥² positif?

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Transcription de vidéo

La courbe d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est représentée. En quel point d𝑦 sur d𝑥 est négatif, mais d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est positif.

Sur la figure, nous pouvons voir qu’il y a cinq points, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸. Nous devons déterminer en quel point parmi ces cinq les deux affirmations sont vraies. Considérons tout d’abord en quels points d𝑦 sur d𝑥 est négatif. Maintenant, d𝑦 par d𝑥 est la dérivée première de cette fonction. Nous savons que la dérivée première d’une fonction donne la pente de sa courbe. Nous pouvons voir en regardant la figure en quels points la courbe a une pente descendante. Nous pouvons aussi tracer des tangentes en chaque point pour nous aider.

Tout d’abord, en traçant une tangente au point 𝐴, nous pouvons voir qu’elle a en effet une pente descendante. Ainsi, d𝑦 sur d𝑥 est négatif au point 𝐴. Aux points 𝐵 et 𝐶, par contre, les tangentes ont des pentes ascendantes, ce qui nous indique que d𝑦 sur d𝑥 sera positif en ces deux points. Au point 𝐷, la tangente semble être horizontale, ce qui signifie que d𝑦 sur d𝑥 sera égal à zéro au point 𝐷 et non négatif. Enfin, au point 𝐸, nous traçons la tangente. Nous voyons qu’elle a en effet une pente descendante. Ainsi, d𝑦 sur d𝑥 est négatif au point 𝐸. Il ne nous reste donc que deux possibilités, le point 𝐴 et le point 𝐸.

La deuxième condition est que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, c’est-à-dire la dérivée seconde de notre fonction 𝑦 par rapport à 𝑥, doit également être positive. Maintenant, le signe de la dérivée seconde d’une fonction est lié à la convexité de la courbe. Nous rappelons que lorsqu’une courbe est convexe, sa dérivée première d𝑦 par d𝑥 augmente. Nous pouvons le voir sur le schéma. La pente des tangentes passe d’une valeur négative à zéro à une valeur positive. Ainsi, sa valeur devient plus grande. Si d𝑦 sur d𝑥 augmente, cela signifie que sa dérivée d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré doit être positive.

L’opposé est vrai lorsqu’une courbe est concave. Sa première dérivée diminue. Ainsi, sa dérivée seconde sera négative. Nous notons également que lorsqu’une courbe est convexe, les tangentes à la courbe se situent sous la courbe elle-même. Ainsi, si nous cherchons où la dérivée seconde est positive, donc où la courbe est convexe, nous pouvons regarder à quel point les tangentes se situent en dessous de la courbe.

N’oubliez pas que pour remplir la première condition, nous avons réduit nos options aux points 𝐴 et 𝐸. Sur la figure, nous pouvons voir que, au point 𝐴, la tangente est bien en dessous de la courbe. Par conséquent, la courbe est convexe au point 𝐴. Ainsi, la dérivée seconde est positive. Cependant, au point 𝐸, la tangente est au-dessus de la courbe. Donc, la courbe est concave au point 𝐸, ce qui signifie que la dérivée seconde sera négative. Ainsi, en considérant la pente de la courbe puis sa convexité, nous avons constaté que le seul point où d𝑦 sur d𝑥 est négatif, mais d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est positif est le point 𝐴.

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