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Vidéo de question : Comprendre la relation entre les matrices inverses et la matrice identité Mathématiques

Si 𝐴 est une matrice carrée non singulière, est ce vraie que 𝐴⁻¹ ⋅ 𝐴⁻¹ égale la matrice identité ?

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Transcription de vidéo

Si 𝐴 est une matrice carrée non singulière, est-ce vrai que le produit de l'inverse de 𝐴 par l'inverse de 𝐴 égale la matrice identité ?

Avant de répondre à cette question, définissons d'abord quelques termes clés.

Tout d'abord, rappelons ce que nous entendons par le terme "non-singulière". Une matrice est dite non-singulière si elle est inversible. En d'autres termes, elle est non-singulière si son inverse existe. Sachant la façon dont l'inverse d’une matrice est calculée, une matrice n'est inversible que si elle est carrée et que son déterminant est non nul.

Nous rappelons ensuite la définition d’une matrice identité. Il s’agit d’une matrice carrée dont les éléments sont nuls sauf sur la diagonale principale, où les éléments sont égaux à un. Par exemple, la matrice identité deux fois deux est la matrice dont les éléments sont un, zéro, zéro, un, comme indiqué.

En gardant cela à l'esprit, il nous faut maintenant établir si, dans le cas d'une matrice carrée non singulière 𝐴, le produit de l'inverse de 𝐴 et de l'inverse de 𝐴 est égal à la matrice identité. Nous pourrions donc essayer de montrer si cela est vrai pour toutes les matrices carrées non singulières possibles. Avant cela, examinons une simple matrice deux fois deux 𝐴 est égal à un, deux, trois, quatre. Nous allons calculer l'inverse de cette matrice 𝐴, puis le produit de son inverse par lui-même et voir si cela est vrai.

Nous commençons donc par calculer le déterminant de 𝐴. Pour trouver le déterminant de 𝐴, nous multiplions l'élément en haut à gauche par l'élément en bas à droite puis, nous soustrayons le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. Ainsi, le déterminant de 𝐴 est un fois quatre moins deux fois trois. Ceci donne moins deux.

Maintenant, pour calculer l'inverse de 𝐴, nous multiplions l’inverse du déterminant de 𝐴 par une matrice deux fois deux. Nous allons donc multiplier un sur moins deux par cette matrice deux fois deux. Cela revient bien sûr à la multiplier par moins un demi. Ensuite, la matrice deux fois deux par laquelle nous multiplions cette valeur est trouvée en échangeant les éléments en haut à gauche et en bas à droite et en changeant le signe des deux autres. L'inverse de 𝐴 est donc moins un demi fois la matrice contenant les éléments quatre, moins deux, moins trois et un.

Nous pouvons ensuite multiplier chaque élément de la matrice par moins un demi pour trouver l'inverse de 𝐴 : nous obtenons la matrice moins deux, un, trois sur deux, moins un demi. Maintenant que nous avons l'inverse de 𝐴, nous allons calculer le produit de l'inverse de 𝐴 par elle-même.

Nous commençons par trouver l'élément de la première ligne et de la première colonne. Pour trouver cet élément, nous trouvons le produit scalaire de moins deux, un et de moins deux, trois sur deux. Nous pouvons nous rappeler que pour trouver le produit scalaire de ces deux matrices, nous multiplions moins deux par moins deux et nous ajoutons ensuite un fois trois sur deux. Cela donne quatre plus trois sur deux, ce qui correspond à 11 sur deux.

En fait, il n'est pas nécessaire de continuer à chercher le produit de l'inverse de 𝐴 avec elle-même. Nous avons déjà examiné la matrice identité deux fois deux. Nous avons vu que le premier élément de la première ligne et de la première colonne devait être un. Le nôtre est 11 sur deux, ce qui est différent de un, bien évidemment. Ainsi, nous savons que cette matrice ne peut pas être la matrice identité.

Puisque ce n'est pas vrai pour la matrice que nous avons définie comme étant égale à 𝐴, il est impossible de dire que cela est vrai pour toutes les matrices. La réponse est donc non. Le produit de l'inverse de 𝐴 par elle-même n’est pas égal à la matrice identité.

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